回溯算法

回溯算法类似于枚举过程，所不同的是，当发现现有的解已经不构成可行解时，回溯算法会退回到之前一个满足条件的节点(及时止损)，继续尝试其他可能，从而大大减小了搜索空间。比如下面的四皇后问题。

解题思路通常如下：

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 不可行解:
        return
    
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

由于每次做选择的时候都要遍历当前条件下所有可能的选择，所以需要有一个撤销选择的操作。

太深的递归可能会造成栈溢出，而且也有效率问题，可以借助额外的栈实现非递归算法：

待补充...

全排列问题

求n个不重复数的所有全排列。

借助上文的模板，路径就是不同的排列，选择是路径外的数字，结束条件是路经长为n，因为候选解中已经确定为不相同的数字，所以不存在不可行解。

不推荐的例子：

result = []
n = 3


def backtrack(path: List[int], node: List[int]):
    if len(path) == n:
        result.append(path)
        return

    for x in node:
        path_ = path.copy()
        path_.append(x)
        node_ = node.copy()
        node_.remove(x)
        backtrack(path_, node_)


backtrack([], list(range(n)))
print(result)

回溯算法的难点是如何设计路径和维护候选解集，设计的不好就容易造成实现起来复杂而且效率也不够高。比如以下给定没有重复数字的序列，返回所有可能的排列

输入: [1,2,3]
输出:
[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]

候选解并不一定要显示的给出，由于Python的可变对象的问题，通过当前的path推断可选的集合是更常用的选择。

class Solution:
    def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        ans = list()
        n = len(nums)

        def backtrack(path):
            if len(path) == n:
                ans.append(path)
            for x in nums:
                if x not in path:
                    backtrack(path+[x])
        backtrack([])
        return ans

但如果是包含重复数字的排列，就不能简单的用重复数字找出候选集，此时就需要一个额外的visit列表记录该位置是否被访问过。

class Solution:
    def permuteUnique(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        nums.sort()
        n = len(nums)
        ans = list()

        def backtrack(path: List[int], visit: List[bool]) -> None:
            if len(path) == n:
                ans.append(path)
            else:
                for i in range(n):
                    if (visit[i] == True or (i > 0 and nums[i] == nums[i-1] and visit[i-1] == False)):
                        pass
                    else:
                        visit[i] = True
                        backtrack(path+[nums[i]], visit)
                        visit[i] = False
        backtrack([], [False]*n)
        return ans