【NOIp 2015】【动态规划】子串

描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

格式

输入格式

第一行是三个正整数 n，m，k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问 题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输 出答案对 1,000,000,007 取模的结果。

分析

dp题，用f[k][i][j]表示A串取到第i个，匹配到了B串的第j个，A串取了k段子串的方案数。很明显只有当a[i]==b[j]的时候dp方程可以更新。
那么k需不需要-1呢？这取决于a[i-1]是否等于b[j-1]，所以分类讨论一下就可以了，可以得到以下dp方程：
当a[i]==b[j]且a[i-1]!=b[i-1]时：f[k][i][j]=∑f[k-1][i-m][j-1]（其中1＜m＜=i）
当a[i]==b[j]且a[i-1]==b[i-1]时：f[k][i][j]=∑f[k-1][i-m][j-1]+f[k][i-1][j-1]（其中1＜m＜=i）

这里需要一个优化：求和操作开一个前缀和数组，可以优化掉一个次数。否则复杂度为O(mn^2k)最大是40000000000计算岂不是爆炸…

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#define INF 0x3f
#define maxn 1010
#define mo 1000000007
using namespace std;

/*
当a[i]==b[j]且a[i-1]!=b[i-1]时：f[k][i][j]=∑f[k-1][i-m][j-1]（其中1＜m＜=i）
当a[i]==b[j]且a[i-1]==b[i-1]时：f[k][i][j]=∑f[k-1][i-m][j-1]+f[k][i-1][j-1]（其中1＜m＜=i）
*/ 

int n,m,k,ans=0;
int f[2][1010][510],pre[2][1010][510];
char a[1010],b[510];

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    scanf("%s",a+1); scanf("%s",b+1);
    f[0][0][0]=1; pre[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pre[0][i][0]=1;
    for(int l=1;l<=k;l++){
        memset(f[l&1],0,sizeof(f[l&1]));
        memset(pre[l&1],0,sizeof(pre[l&1]));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(a[i]==b[j]){
                    f[l&1][i][j]=pre[(l+1)&1][i-1][j-1];
                    if(a[i-1]==b[j-1]){
                        f[l&1][i][j]+=f[l&1][i-1][j-1];
                        if(f[l&1][i][j]>=mo) f[l&1][i][j]-=mo;
                    }
                }
                pre[l&1][i][j]=f[l&1][i][j]+pre[l&1][i-1][j];
                if(pre[l&1][i][j]>=mo) pre[l&1][i][j]-=mo;
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=(ans+f[k&1][i][m])%mo;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}