SCOI2014 bzoj3594 方伯伯的玉米田（二维树状数组+dp）

3594: [Scoi2014]方伯伯的玉米田

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Description

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。
这排玉米一共有N株，它们的高度参差不齐。
方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。
方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高1单位高度，他可以进行最多K次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。
问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

Input

第1行包含2个整数n，K，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。
第2行包含n个整数，第i个数表示这排玉米，从左到右第i株玉米的高度ai。

Output

输出1个整数，最多剩下的玉米数。

Sample Input

3 1
2 1 3

Sample Output

3

HINT

1 < N < 10000，1 < K ≤ 500，1 ≤ ai ≤5000、

---

 

首先来简化一下题意，就是在进行k次拔高操作后，求最长单调不下降序列。

首先我们来证明一个结论：进行拔高操作的最优决策肯定是后边的拔高次数大于等于前面的拔高次数，并且拔高次数单调不下降。

有了这个性质后，我们就知道了他每次进行的拔高操作一定是对于一个后缀进行操作。

所以可以想出一个复杂度为$O(n^2k^2)$的暴力，即类似与$O(n^2)$求解LIS的过程只不过多了一个限制条件

设$f[i][j]$为到第i个，进行j此操作的最上不下降子序列长度

$f[i][j]=\max{f[k][l]+1},(a[i]+j>=a[k]+l,i>k，j>l)$

由于这题数据都比较强，所以上面这种算法能拿到0分的好成绩别问我是怎么知道的

显然会T到飞起

现在我们考虑优化，我们可以看到这个转移的限制条件就是一个二位偏序，所以用二维树状数组维护区间最大值即可

注意的几点：二维树状数组一位存拔高后的高度，一位存拔高次数，注意千万不能存下标，否则会MLE。

　　　　　　为了避免树状数组下标为0,所以将拔高次数都加1。

　　　　　　注意状态数组的定义问题这决定这你是在每次更新f数组时都更新ans，还是在最后一遍更新。

　　　　　　第二维倒序枚举（不知道为什么qwq，有会的大佬指出）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define lowbit(x) x&(-x)
const int N=2e4+10;
using namespace std;
int c[15005][10505];int n,k,Max=0;
int f[N][505],a[N];
void add(int x,int y,int add){//i,j
    for(int i=x;i<=k+1;i+=lowbit(i)) for(int j=y;j<=Max+k;j+=lowbit(j)) c[i][j]=max(add,c[i][j]);//buhui
}
int query(int x,int y){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) for(int j=y;j;j-=lowbit(j)) res=max(res,c[i][j]);
    return res;
}
main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),Max=max(a[i],Max);
    int ans=0;
    //for(int i=1;i<=k;i++) {f[i][0]=1;add(1,a[i],1);}//buzhidao
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=k;j>=0;j--){//buzhidao
            //mingbai
            f[i][j]=query(j+1,a[i]+j)+1;
            ans=max(f[i][j],ans);
            add(j+1,a[i]+j,f[i][j]);//mingbai
        }
    }
    /*int ans=-1;//mingbai
    for(int i=0;i<=k;i++) ans=max(ans,f[n][i]);*/
    printf("%d",ans);
}