高斯，欧拉，黎曼，庞加莱，格罗藤迪克 比较--转载于一个个人看法

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NO5. 格罗藤迪克

等级：半神

类型：超越时代

风格: 一个方向走到极致，代数几何的极致，抽象的极致，结构化的极致！进而影响数学全局！

留给数学家就业岗位:

1梦想中的动机理论，2代数几何中的标准猜想(远阿贝尔代数几何)，

3. ABC猜想

4. 30%左右的菲尔兹奖得主的研究领域都几乎直接和间接和格罗藤迪克研究的代数几何相关，格罗藤迪克为中国乃至世界数学家留下了许多研究的饭碗，创造力大量数学家就业岗位，从这一点看，格罗藤迪克功德无量。

主要成果：

1.非交换代数几何(当代数学最重要的主流方向，未来数学的一大趋势，史上抽象结构化数学的巅峰)

2.motive动机理论(无人能够完全解读，未来数学的可能性，意义重大，一旦成立，将会对基础数学几乎所有数学分支研究产生革命性影响，被誉为数学中的乌托邦。)

3.概型理论(一旦成立，概型有可能是比流形更接近数学本质的东西，国际许多数学大佬都感到非常深奥难懂，对他的研究目前仍然毫无头绪)

4.拓扑斯理论

5.黎曼－洛赫－格罗滕迪克定理(连接分析与几何拓扑的中心定理)

简评：

代数几何的上帝，当代数学的统治者，其思想与成就将引领数学下一个百年！格罗腾迪克进入第五，或许有点令人奇怪，毕竟一个2014年才去世的当代数学家，还没有经过历史时间长河的考验，凭什么排在这么高的位置？

不过要我说，再过五十到一百年，就学术成就而言，上帝还可能超越高斯，排名第三！

就目前来看，格罗藤迪克的的数学影响力已经有和高斯王子，欧拉老师，希尔伯特叫板的本钱了。

而上帝还只是个当代数学家，在可以想见的未来里，他学术印记必定会进一步加深！上帝的风格很奇特，属于一个方向走到极致，代数几何的极致，抽象的极致，结构化的极致！

从一个方向出发，进而全面辐射影响到了数学的各个方向和分支，代数，几何，数论，拓扑，分析，很难找到当代数学哪个方向没有受到上帝的启发！上帝并不全面，不以全才著称，他主要只专注于代数几何，却影响了了全局！

其抽象结构化的能力与天赋，史上第一！没有争议！放眼数学史上，除了黎曼，庞加莱，加罗华，牛顿等了了几人之外，还有谁一开创一种数学工具，立刻解决大量当代最重要的数学问题？

费马大定理，韦伊猜想，莫德尔猜想，谷山志村猜想，当代最重要的数学突破进展都来源于他的代数几何，超过一半的菲尔茨奖与上帝的工作直接或间接相关！当代最伟大的数学家，没有之一！

把他排在第五位，考虑到历史长度，他还需要至少一百年的时间，来加深他对数学的印记，才能名正言顺的超越高斯王子和欧拉老师，这个是个大概率事件！(因为到了博士生阶段，前沿数学领域，高斯和欧拉的数学理论慢慢无法解决许多数学和物理大问题，慢慢走下神坛，给了其他数学家增加影响力的机会。)

当然，如果未来几十年有更强的数学家创造新的数学工具取代格罗藤迪克的思想，那么上帝当然也无法超越高斯和欧拉大师了！目前而言，他所需要的，只是还差一点时间！这个时间是多久？大约一百年，就够了，😄他的总体成就，与希尔伯特可以说不相上下，但考虑到上帝在未来的潜力和提升的空间，其思想的可挖掘的宝藏，还是将上帝放在前面。

而上帝的总体数学成就，明显要比加罗华，阿贝尔，牛顿，莱布尼茨要高出不少，无论创造性，重要性，影响力，颠覆性，格罗都可以排名史上前五！而比起成果满天开花的魏尔斯特拉斯，柯西，拉格朗日等历史伟大人物，上帝在纯数学领域显然要直接超越了，已经不是一个档次的数学家了！

格罗藤迪克的亮点:

从数学爆发力来说，他和黎曼阿贝尔伽瓦罗是总统山级别，就是说平均时间里的数学产出。

格罗藤迪克2014年去世后留下的数学遗产仍然没有被完全挖掘，他的拓扑斯理论链接了逻辑与代数几何，是层论和拓扑的范畴化，目前数学界有5个很有潜力替代集合论的构造主义数学基础，都汇集指向元素拓扑斯理论，高阶拓扑斯理论仍然是开放问题，数学家对其研究像盲人摸象。

格罗藤迪克黑点:

格罗藤迪克许多乌托邦的数学设想和数学架构，需要时间来检验，大概100年后在来评价比较合适。

 

NO4. 庞加莱

等级：神级

类型：超越时代

风格:天马行空般的创造性大师

留给后世数学家就业岗位: 庞加莱猜想

代表性成果：

1.代数拓扑（数学史上最重要的数学构造之一，透视未来物理的基础性创造）

2.单值化定理（连接数学和物理的重要桥梁）

3.混沌理论

4.自守函数

5.动力系统(创始人)

庞加莱的亮点：

1.史上在数学与物理综合成就最接近于牛顿的数学家！物理学史上最伟大的数学家！虽然在物理上无法与牛顿相提并论，但狭义相对论仅次于爱因斯坦贡献者，以及天体力学仅次于牛顿，开创的混沌理论，以及对量子力学的影响，无不是第一流物理学家的水准，而且庞加莱的纯数学成就直接甩牛顿八条街，甩爱因斯坦更是十八条街。在数学创造力上，庞加莱除了黎曼之外，对于其他数学家，基本上是个吊打无压力的水准。

2.一己之力开创拓扑学这个堪称数学史上难度最大的最重要的数学构造之一！其在完成度和深度上虽然不如黎曼的几何（但难度远胜之），但要胜过伽罗华，阿贝尔的群论，和高斯在算术探索曲面几何的深度和完成度相仿，但同样难度远胜之！其开创的同伦同调技术，尤其是高维单值化定理的证明推广，成为现代代数几何，乃至数学，理论物理最重要的基石之一，影响到多维时空的研究与发展！

而且普遍认为，在未来的物理学的关键性突破，必须源于透视拓扑的更根本的性质，必须拓扑学有重大突破才能够诞生新的物理飞跃！lie

2016年的诺贝尔物理学奖三位物理学家，因为拓扑相变的理论成果而获奖，而这方面的远见性思想的拓扑学内在性质工作，皆是起源于庞加莱的论文之中。

这方面工作21世纪被挖掘出来的越来越多，庞加莱学说仍然有许多数学和物理上的淘宝地。

3.数学史上的智力之神！庞加莱学说的难度史上第一，毫无争议，其中充满创造性与复杂的新思想与新技巧，他是如何想出来这些艰深看不到尽头的学问，无人知晓！这与高斯，柯西，魏尔斯特拉斯搞出无数定理之类的工作根本不是一个档次！这是人类智力上的一个奇迹！这也是数学史上的一个谜！迄今无人可以解读！

庞加莱的黑点：

1.拓扑学足够伟大(重要性在20世纪超越高斯认为的数学明珠-数论，没办法，数学大神不止高斯一位)，但庞加莱所开创的这项震撼人心的伟大数学构造只是粗糙构造，虽然揭示看清了许多本质，但远远未达到完美构造和预期，庞加莱去世后，拓扑学的研究已经进入停顿，再无实质性突破，庞加莱并未留下线索，迄今也无人能够企及这个高度，拓扑学仍然在等候下一个庞加莱一样的天才继承人。

2.否认狭义相对论的基本原理，所以即使他比爱因斯坦更早推出了狭义相对论方程，也极大的降低了他应得的荣誉，不作死就不会死，否则庞加莱将成为狭义相对论的第一发现人，物理学地位将跻身物理学史前十，而非如今前五十都进不了，成为爱因斯坦狭义相对论的第二贡献者的陪衬地位。这个是物理学上的黑点，不影响他数学上的成就。不过因为太著名，也就提提。

庞加莱为什么不如黎曼？

简评：事实上，庞加莱学术尤其是拓扑学的难度远超黎曼，而且在数学与物理的综合个人总战绩中也远超黎曼。但是为什么庞加莱比起黎曼还是差了一个档次呢？

首先，我们这里是比较数学成就，不论物理成就综合。

其次，也是最重要的，就是庞加莱最重要最具代表性的成果的创造拓扑学，完成度和深度依然较粗糙，远不及黎曼在几何上的完成度和深度。庞加莱之后，拓扑学基本已经是一门快要死亡的学科了，研究已经变成一潭死水；而黎曼的学说思想，迄今仍然在给数学家们无数有益启发，已经成为基础性的数学语言平台，所有的数学家都在此基础工作。换言之，虽然因为时代的原因，庞加莱工作难度更大，但黎曼的目光更深邃，思想更深刻，这就犹如黎曼不但找到了一座巨大的金矿，不但自己挖出了金子，而且给了后人指点了上山的路，并提供挖掘金矿的工具和方法，而后人沿着黎曼的指引和使用黎曼提供的工具，迄今不断开采出黄金。

庞加莱则是相当于也发现了另外一座巨大的金矿，却发现金矿在悬崖上，庞加莱自己也没能爬上去金矿，也没找到路，于是用钩子吊绳之类工具，于是也自己也开采了一些金矿出来，后人用庞加莱的办法也弄了一些黄金出来，但这座巨大的金矿的依然藏在悬崖上，庞加莱既没有指出上山的路，也没有提供更有效的工具，后人只能对着巨大的金矿望洋兴叹而无能为力！

这个就是庞加莱不如黎曼，庞加莱和黎曼有接近一档次的差距的原因！

细比较黎曼和庞加莱，会发现两人有许多惊人的相似：都是数学直觉灿烂的代表，都是几何天赋奇高，而都是对代数无多少贡献，都是在做创造性的工作！都引导了物理的最前沿的突破。

(庞加莱学说重要性在21世纪还会不断上升，因为他的学说还有大量可以挖掘的财富，留给后人研究的饭碗非常多，学术地位还在上升是大势所趋，对欧拉，高斯的地位挑战是非常大的)

 

NO3. 欧拉

等级：大神

类型：统治时代

风格: 世界第一流的数学应用技巧大师

留给后世数学家就业岗位: 推广哥德巴赫猜想

代表性成果：

1.分析学(分析化身，分析学史上第一人，远超牛顿与莱布尼茨在微积分的成就，奠定分析学与数论，几何，代数为四大数学分支并列地位的最重要数学家)

2.欧拉恒等式(解析数论先驱，数论与分析之间的神秘桥梁，从此以后可以用微积分来研究数论，黎曼推广到复数系后形成史上最伟大数学猜想，迄今未破解)

3.微分方程(先驱，物理学最重要数学工具的早期先驱与开创者)

4.变分法

5.图论，拓扑学(早期先驱，后世最重要的数学构造之一，由黎曼与庞加莱彻底开创辉煌)

6.分析力学，弹道力学(开创者)

7.应用数学

简评：

作为人类科学史上第一个纯粹意义上的职业数学家，18世纪数学界的统治者，全面卓越的数学成就与贡献，伟大的欧拉大师排在第三位，作为欧拉老师的粉丝，还是可以接受的。

欧拉的在各个数学分支的全面性贡献，历史上只有高斯可以相提并论。就学术成就来说，欧拉与高斯、格罗滕迪克、希尔伯特不相上下。

与高斯相比，欧拉最重要的工作对于微积分的发展，分析学史上第一人的成就，足以与高斯在数论和微分几何上的成就媲美，而且欧拉对18世纪数学界的统治力完全无解，相比高斯在19世纪数学界时不时被超车的统治力更有说服力。但总体说来，高斯在理论的抽象性与严密性要超越欧拉，而且在深度与完成度上也强于欧拉，而且高斯奠基与开创的学科与分支对于现代数学更深刻与重要，再者，高斯的学术成果的系统性与体系性也要超越欧拉，因此在学术成就上总体低于高斯一个身位。而与格罗滕迪克，希尔伯特比起来，虽然在学术上半斤八两，而且随着时代推移，欧拉的学术成就与影响力，地位可能被格罗滕迪克，希尔伯特，超越，但欧拉也和高斯一样，占据了横向的时代优势，也就是说，在作出同级别重量级的数学成就的基础上，欧拉老师比他们早了两百年！

而且欧拉老师的全面性要超过希尔伯特，更远超格罗滕迪克和庞加莱。

欧拉的亮点：

1.分析学史上第一人！一般会有人质疑，分析史上第一人不是牛顿或莱布尼茨吗？照一般人的观点，学科开创者的成就最大！但持平而论，牛顿莱布尼茨确定了微分与积分为互逆运算，从而开创了微积分这个数学中最重要的基础工具，但是分析学在牛顿时代仅仅处于萌芽状态，还非常粗糙，学科完成度与本质远远没有完成，还谈不上成熟到成为独立分支，而在欧拉才是将分析学带到数学巅峰的学者，欧拉采用的函数变量的观点，才是分析学突破的关键，远超牛顿从运动学的角度提取微积分的观点，牛顿的观点更适用于物理，但在纯数学上的突破和重要性距离欧拉差距太大。在欧拉之后，无穷级数的研究以及变分法的创造，才将分析学真正意义上建立起来，一举与数论，代数，几何并肩，成为四大基础分支之一，并且深刻影响了拉格朗日，拉普拉斯，柯西，魏尔斯特拉斯，黎曼等后代分析学大师，这个功绩，从函数变量的观点切入，才是分析学后世研究的主流方向，从纯数学角度来说，欧拉的观点才是决定性的，在这点上欧拉远超牛顿，作为近代数学史上最重要的创造微积分，欧拉作为分析学史上第一人的地位应该是可以肯定的，凭这个成就，欧拉也足以跻身史上最强数学家之一！

2.真正意义上的史上第一位纯职业数学家！在欧拉之前的数学学者其实更像物理学家，比如牛顿，阿基米德，或者哲学家，比如笛卡尔，莱布尼茨，有些专业的数学家，往往也是身兼多职，数学只是爱好或附带的成果，比如帕斯卡，费马，毕达哥拉斯，等等，欧拉可以说是真正意义上的纯数学家第一人，以此为生，当然欧拉在物理上，分析力学弹道力学也有开创之功，但他数学上的成就，远远超过其他的成就，也远远超越了前人！包括牛顿和莱布尼茨阿基米德，欧拉是个标杆性的里程碑，自从欧拉之后，数学家的名字才有了真实的意义！

3.史上第一个全面的数学全才式的天才！欧拉生涯著作浩繁，达近900部著作与论文，研究领域渗透分析，几何，代数，数论各个领域，在欧拉之前，只有阿基米德，牛顿，莱布尼茨勉强有点全面性数学家的影子，阿基米德研究了几何与代数，并萌芽了微积分的思想，牛顿开创了微积分，并在代数几何上有所建树，莱布尼茨共享微积分创始人地位，并且在数论代数有所成就，萌芽了离散数学与计算数学，但他们与欧拉都无法相提并论，欧拉在分析，代数，数论，几何均达到当时的最顶尖的成就，阿基米德难度太低，牛顿被欧拉数学上全面超越，并且牛顿在数论没什么建树，莱布尼茨在全面性上和欧拉完全无法相提并论！至于古希腊其他数学家以及欧拉之前的数学家，与欧拉更是在全才上天差地远！史上在全面性，广度上均达到当时最顶尖地位的，只有后世的高斯能够与之相提并论，柯西较接近，但横向时代的地位无法与欧拉相提并论，黎曼庞加莱代数太弱，格罗滕迪克，希尔伯特几何拓扑太弱，欧拉是数学史上第一个全面式的全才！

4.统治18世纪数学界！17世纪是牛顿的世纪，18世纪是欧拉的世纪，相比较而言，欧拉和牛顿在他们自己的时代，他们的数学能力都是绝对强势的统治级别的，但在数学成就上，牛顿与欧拉无法相提并论！而后世学者中，高斯在19世纪的统治力明显达不到大一统的地步，其他人更不用说！

5.近代数学先驱！牛顿莱布尼茨开创微积分，从此将数学带入了近代！但这个过程中，欧拉才堪称是古典数学的第一个集大成者、第一个近现代数学的萌芽与先驱者，欧拉在各个分支的卓越贡献，才真正的全面将数学开始带入到一个新的阶段！

6.数学界的老师！在传道方面，欧拉的直系旁系学生几乎统治了欧洲数学界，而且他的著作对后世更是影响深远！

7.惊人的计算能力！据说连高数都能心算！数学天赋与天才，欧拉绝对在史上名列前茅！

8.世界第一的应用数学大师: 欧拉对数学的掌控和应用远超上古大神阿基米德，作为欧拉老师的粉丝，更想封他一顶现代机械动力学鼻祖的帽子。今日的流体力学、多刚体动力学、机器人学等，离开了欧拉角定义，离开了欧拉运动方程，离开了著名的欧拉公式，我看简直寸步难行，没有了灵魂。

欧拉研究有大手笔，也有小杰作。欧拉推出的压杆稳定性分析极限力求解公式PK=pi^2*E*I/(u*L)^2（其中u长度折算系数）是现代框架结构类屈服极限承载能力计算的始祖；欧拉推出的柔性体缠绕圆轮两端张力比公式F2/F1=exp(-u*a)（其中u摩擦系数，a包角)是机械皮带传动和机械柔性紧固结构的数理基石。今日搞机械动力学研究的，搞纯数学研究的，搞应用数学研究的，寻根溯源到最后，我看至少90%都是欧拉的门徒。

欧拉老师的不足:

伟大的欧拉大师生平黑点很少，无论是学问或者人品，都是声誉卓著。不过既然提到不足，就勉强说一点。

1.学术研究的严密性，抽象性，系统性未达到应有的高度，至少与高斯或后世的伟大数学家还是有不小的差距。虽然欧拉大师在分析上功勋卓著，但总体说来，欧拉的学术成果广泛而庞杂，虽然生平近900篇著作，开始了许多学科的先声，启发了无数后来者的进一步研究并创新高度，但可惜的是，欧拉本人很大程度上并未彻底给一个重要的学科分支完全定型，即使是他作为分析史上第一人，也不能够说完全定型了分析学，因为前有开创者牛顿莱布尼茨，后有柯西，拉格朗日，魏尔斯特拉斯，在定型分析学上的功绩关键作用不亚于欧拉，何况黎曼，柯西魏尔斯特拉票开创的复分析方法，已经大大突破超越了欧拉时代的思想，当然，这也跟时代有关，不能苛求欧拉老师了。在欧拉的时代，数学才刚刚进入近代科学的阶段，不可能以黎曼流，形群论之类的思想去要求欧拉。

欧拉做了海量的无数领先时代的工作，堪称史上数学导师。

不过，他未能彻底定型学术与分支，这样成就就要大打折扣，这点算是一个小小的遗憾吧。

 

NO2. 高斯

级别：大神

类型：统治时代

留给后世数学家就业岗位: 高斯类数问题

代表性成果：

1.算术探索（初等数论集大成者，代数数论萌芽，18世纪最伟大的数学著作）

2.曲面内蕴微分几何（黎曼几何的重要源头，微分几何奠基之作，非欧几何代表工作之一，启发现代几何学）

3.概率论正态分布

4.高斯绝妙定理

5.高斯电磁定律

简评：

做为古典数学集大成者，现代数学的重要启发者和奠基人，王子的成就覆盖了数学各个分支，公认的数论史上第一人，几何学史上top5，初等数论集大成者，代数数论萌芽始祖，现代微分几何鼻祖，对概率论作出重大贡献，并且在非欧几何，代数数论，椭圆函数论，椭圆积分作出早期系列工作，并且在电磁学，大地测量学，天文学等取得不凡成绩。王子的学术成就遍布数学各个领域和分支，并且极具深度与完成度，毫无疑问，在一切时代，高斯都是史上最伟大的数学家之一！尤其在学术广度，全面度以及公众影响力，以及数学史地位，高斯基本上都是公认的数学之王，历史第一人。

高斯的亮点：

1.数学史上天智全才，广度与厚度无人能及！王子是与欧拉并肩，甚至在抽象性与严格化超越欧拉的数学史第一全才，在他的时代，数论当之无愧的史上第一，几何史上top5，在代数领域也做了阿贝尔，伽罗华之前的最强的成就，在分析领域，也仅次于魏尔斯特拉斯，柯西，黎曼，阿贝尔等几人能稍微领先他。换言之，在1840年以前，王子是绝对的统治时代的人物，也是牛顿，欧拉之后又一个统治时代的数学家。在1840年以前，高斯在数论，几何，代数，分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就，无人能及！无论是阿贝尔伽罗华，还是魏尔斯特拉斯，雅可比，无疑都是他的学生辈了，虽然后来者在某些领域超越了高斯，但高斯拥有自己完整的统治时代，毫无疑问！王子的全面性从纵横时代来讲，都当之无愧的史上第一。

2.早慧的传奇，领先时代的神话！高斯早慧的传说早已名垂千古，为他的公众影响力带上耀眼的光环，19岁的时候，就超越了3L的成就与地位，年纪轻轻就登上数学神坛，成为当时数学家膜拜的至高偶像，声誉权威威望与地位无人能及！甚至直到今天，还是有许多专业或业余数学家与爱好者认为高斯是史上第一！

3.高斯的数学笔记，无疑是他又一个灿烂数学生涯的最好注脚！王子去世后整理出来的笔记，里面许多结论甚至在当时都是很卓越的成果，而这些成果都是在1814年以前完成的，里面囊括了数论，分析，几何，代数各个分支的成果，而且都是当时最领先的东西，研究了高次代数方程，分圆方程，甚至发现了椭圆函数双周期性，这些成果，直到阿贝尔伽罗华出现之前都是领先的，而阿贝尔加伽罗华的理论被认可，差不多已经是1840至50年代以后了，换言之，高斯这些未发表的笔记论著，领先了时代数十年，如果高斯不是因为追求完美，而把这些遗著当时也发表了，可以让数学研究直接在他的基础上，至少前进四五十年！这也是高斯伟大的数学生涯令人惊骇智力表现！

4.王子为人冷漠，不喜欢也不擅长教学，虽然有许多顶级数学家组成的豪华粉丝团，但在传道方面却难称出色。但是，高斯有一个名字照耀千古的史上最强数学家弟子黎曼！虽然黎曼受高斯教导影响不大，与高斯并无多少接触，但从哥廷根的系统来说，黎曼可算是高斯的嫡系门生了。在黎曼博士论文和就职演说两项数学史上最伟大最灿烂的篇章中，高斯都给予黎曼最大的支持和最高的赞美！

高斯的黑点：

1.最大的黑点：19世纪近现代数学最重要的标志性的成果，没有一个是王子独立开创的！近现代数学的标志性成果，黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等，没有一项是由高斯创立的！虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献，但他不是决定性的人物，群论归功于伽罗华阿贝尔，椭圆函数论阿贝尔雅可比的工作超越了高斯，复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼，柯西，魏尔斯特拉斯，虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一，但他没有公开发表论文，而且完成度不如罗巴切夫斯基，鲍耶，虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的，即使在高斯最强的数论领域，高斯所有数论的著作，没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要！而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？在很多人眼里史上第一的数学家，竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的顶级成果的行列！这就尴尬了！

尤其是19世纪对后世影响最大的启发现当代数学的最伟大的一系列标志性成果，几乎没有一项是由高斯创立完成的，几何，分析，代数，甚至数论某些领域，所有分支在高斯生前就都已经被其他学者弯道小超车了，这个黑点高斯无论如何没法越过，这点和牛顿完全统治17世纪，欧拉完全统治18世纪，有些差距，论时代统治力，高斯不如牛顿欧拉，而且在洞察力，创造力，颠覆性方面，高斯比起同时代的黎曼阿贝尔，伽罗华以及后世的庞加莱要逊色不少，比起后世的格罗滕迪克，希尔伯特没什么优势，即使是在高斯还活着的生前，他的数学创造力，爆发力就已经被黎曼全面超越了。

所以注定了高斯绝不可能是数学学术史上第一人！

2.关于高斯的数学笔记问题！

这既是高斯的一大亮点，同时也是最大的黑点之一！无可否认，高斯去世后整理出来的笔记，即使在当时看来都是很出色的工作，如果早发表出来，至少推动数学提早三四十四五十年！但问题是，在高斯的生前并未公开发表这些成果！因为高斯追求完美的性格，所以没有发表，什么意思，就是说，高斯笔记的成果，实际上并不完美，还有很多不足！高斯研究了高次方程解问题，但发现群论的功绩属于伽罗华阿贝尔，高斯发现了椭圆函数双周期性，但阿贝尔雅可比在椭圆函数上的工作比高斯要深刻的多！高斯有了非欧几何的思想，但完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶！高斯苦思一生没有解决的几何基础问题，在他生前已经被黎曼解决！最小二乘法和二次互反率勒让德也发现了，正态分布发明权高斯必须与棣莫弗，拉普拉斯分享，等等等等……什么意思呢，意思就是说，实际上，就是因为高斯没有当时第一时间发表这些成果，而实际上已经被同时代的人做出或超越了！换句话说，高斯笔记在高斯去世之后正式出版的时候，这些成果实际上已经过时了，已经不算是前沿的东西了！实际上，说这些笔记出版的时候，已经一文不值，这有点伤人，但实际情况差不多就是这样。尤其对专业数学家而言，高斯的遗著笔记当然还是有很多启发，但基本已经不是前沿的东西了，几何的发展沿着黎曼的思想，代数群论的发展沿着阿贝尔伽罗华的思想，分析与幂级数的发展随着魏尔斯特拉斯，柯西的思想发展，数论沿着狄利克雷，黎曼，戴德金的思想为主发展，数学界最重要的发展，跟高斯笔记甚至高斯本人其实关联已经不是很紧密了。

高斯笔记体现的是高斯全才与早慧，体现了高斯惊人的天赋所在，但即使高斯正式发表的完成度极高的论文都没有堪称最顶级的开创性成果，何况笔记这些完成度不够有缺陷的成果呢？正是因为这些笔记没有第一时间发表，所以导致了每个分支都已经被同时代或学生辈的数学家超越，基本渣渣都不剩多少了，完全没有发挥和体现出应有的影响力，这个也是数学史上的一大遗憾！

如果这些笔记在写出来当时就发表，即使有缺陷，也依然奇怪最前沿的，并且足以引导后人更进一步，大大提升数学史的进程，毫无疑问！问题是当它发表时，已经被超越了！高斯遗著笔记体现了他惊人的全才，早慧，个人能力，天分，相当于他一个人就做了当时大部分顶尖数学家的成就，何等惊人的智力！但是就学术意义，实际上高斯遗著笔记并没有太大的价值，尤其对于十九二十世纪的近现代数学而言，可以忽略不计！这也大大减弱了高斯应得的实际形象力和学术地位，诚然现代数学才是将来物理需要的东西，推动人类进程的能量。但饮水忘源似乎不太好吧。没有古典数学哪来的现代数学。完全站在现代数学、对将来的影响力那当然时代越晚的越占优势。

正好在分水岭时期。所以他古典数学大成，现代数学开了点头。黎曼是整个现代数学的大源头。所以现代数学地位而论肯定黎曼强。整个数学史地位应该高斯第一。

但随着时间推移，因为缺陷，随着庞加莱可挖掘的数学遗产越来越多，高斯王子的学术地位，还会进一步下降。

 

NO1 黎曼

等级：超神

类型：超越时代

留给数学家就业岗位: 黎曼猜想

代表性成果：

1.黎曼几何(人类数学史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧与认知突破，革新了人类对时空的重新认识，是现代物理学大厦相对论的基石)

2.黎曼曲面，流形(现当代数学，物理的最重要的数学构造和基础工具之一，是现代高能物理学的重要基石)

3.黎曼洛赫定理

(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一)

4.黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗)

5.黎曼空间 (弦理论和超弦理论非常重要的开天神器，很有可能重新塑造新的数学和物理辉煌，个人认为其在21世纪的重要性将会超越黎曼几何)

6.黎曼猜想(最重要的数学猜想，史上最惊艳的个人秀，单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力，一篇仅仅八页的短文，160年前，迄今未被超越)

简评:

从纯数学学术成就角度来看，黎曼占据榜首是没争议的。，这么说可能会让很多高斯粉，欧拉粉牛顿粉不开心，但从数学成就的角度来看，黎曼无论在重要性，影响力，颠覆性个突破性上，都远远超过高斯欧拉牛顿，换言之，黎曼在数学上的成就，大约等于高斯加欧拉再加上牛顿的总和，他们的差距大概这么远。

黎曼以下的数学家，跟他差距都比较大，基本不在一个等级上(首先申明，我不是黎曼粉，而是欧拉老师粉)

黎曼的亮点：

1.史上唯一具有全面统治力的数学家，没有之一！

以黎曼命名的数学成果有81个，仅次于高斯(110个)，欧拉(102个)

黎曼对如何证明发现几十几百条各个数学分支的定理兴趣似乎不大，黎曼只搞那些将几何，数论，分析等各类分支大一统的数学工具，重新改变数学的观念和定义！

高斯和欧拉停留在证明数学定理和奠定数学学科分支的阶段，而黎曼直接创造数学，搞起了数学大一统和数学链接物理桥梁的数学工具和方法，促进这两个学科捆绑式发展，而20世纪的物理学大厦，相对论和量子力学，德国学术界就是照着黎曼留下的方法和思路走下去的，所以才会有德国现代物理学革命。

这就是黎曼比高斯欧拉强十倍的原因！黎曼所做的都是数学史上最重要的工作，而这类工作只有黎曼一个人在做。

很多评论说黎曼的主要成就是开创奠基了复变函数，非欧几何，解析数论，代数几何，拓扑学等等学科，这当然很伟大，也很形式化，但这个评价并不能准确评估黎曼的地位，如果黎曼只是开创了多少新学科，那么他的成就和地位不会比欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特更高。开创许多数学分支并不是黎曼的核心成就，黎曼的辉煌是来自他在开创这些分支时若发明的方法和数学构造，而这些数学构造却是联接几何，分析，拓扑，数论，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼罗赫定理，黎曼映射定理，无不是直接联接数学与物理的最重要的数学工具，很难想象当代一流的数学家或理论物理学家能够不用到这些基础而作出一流的工作。

黎曼的创造性的工作，使他成为史上迄今唯一统治了数论，几何，分析各大数学分支并为现代物理提供最强力数学构造的神级数学家。唯一能够与黎曼接近的是庞加莱。牛顿联接了分析与物理，但牛顿在数论，代数，几何上的成就太次，根本达不到水准之上；高斯和欧拉，柯西等人成果覆盖数论代数几何分析，号称全才，但和黎曼直接联结分支的工作比起来，就显得完全不是一个档次的工作了。阿贝尔，伽罗华的群论抽代思想，既可以对数学全局具有统治力，也完美联结物理，本可以与黎曼抗衡，但他们的完成度太低，短命留下了数学史上最大遗憾。

黎曼唯一的缺憾是没有对代数群论作出成果，影响了他

大一统数学领域，但不要忘记，黎曼罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心！

2.史上最具创造力，洞察力与远见的数学家，没有之一。黎曼从来不以证明定理、爆算能力著称，甚至不在乎证明的严格性。黎曼只搞自由自在的创造！黎曼面，流形，度量，曲率张量，亏格，参模数，模空间，力即几何，空间弯曲，等等在当时看来稀奇古怪的新概念新观念，后来都被证明这些观念才是数学物理的正确打开方式，才是数学物理走进现代的基石，如果没有黎曼凭空搞出来的这些奇怪的东西，现代数学和现代理论物理估计就完蛋了，相对论和量子场论恐怕就是民科了，弦论绝对不复存在了。而这些稀奇古怪的东西，在黎曼屈指可数的十几篇论文里俯拾皆是，这类新概念新观念，随便你发明了其中一个，都会成为中国第一乃至世界前几位的数学家！即使是他次一级的成就，比如柯西黎曼条件，黎曼积分，黎曼许瓦兹定理，黎曼泽塔函数等等等等之类，拿出来放在今天，也足以让任何一个数学家成为相关领域的顶尖学者！高斯是古典数学的集大成者，并启发了现代数学，但带领数学走进现代化的，是黎曼，伽罗华，阿贝尔，其中黎曼，才是现代数学和物理大爆发的原点！

3.现代数学开山祖师，对现代数学影响最深的学者，没有之一！

4.史上思想最深邃，最具深度的数学家，没有之一！一辈子只有18篇论文，但其中蕴含的思想，至今在引导数学家走向新的境界。黎曼的数学思想，兼具了统治力，创造性，前沿性和引导力，既找到了金矿，同时为后来者提供了挖掘金矿的工具，在完成度和启发性上，史上第一，没有争议！

5.黎曼重写了数学的语言，观念和定义。黎曼之后，人们突然发现，**，原来数学还可以这么搞，原来这么搞搞出来的东西的价值才大，沿着黎曼十几篇文章搞出来的东西，才是现代数学与理论物理的正确表达。这点太重要了，观念的突破是决定性的，能够与黎曼媲美的只有庞加莱，伽罗华，和可怜的阿贝尔！

6.对物理学影响深远:

华人数学家丘成桐，陈省身，物理学家杨振宁都是黎曼的脑残粉。丘成桐说中国学生中只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分，这个人就能成为中国最伟大的数学家，虽然有点夸张，但也说明了黎曼的重大影响力。

杨-米尔斯理论实质就是黎曼-罗赫定理至今的终极应用，每一次对这个黎曼-罗赫定理的推广成功都是数学和物理的巨大进步，英国当代最伟大数学家阿蒂亚(Atiyah)认为，杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关，同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。

数学金字塔Top3，深度黎曼，广度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯肩膀上并全面超越，但黎曼之后的数学巨匠庞加莱，格罗滕迪克都无法彻底走出黎曼的阴影，奠定上面两人核心地位的拓扑和代数几何雏形都是黎曼开创的，这仅仅黎曼部分成就，而黎曼对发现数学新理论，新分支，解决难题没有兴趣，仅仅是提供新的数学概念，观念，想法，却奠定了黎曼祖师爷地位，而黎曼这些奇怪的数学思想都是凭借他大脑想象出来的，论数学洞察力堪称世界数学家之最。

黎曼的黑点：

1.观念与方法过于超前，不为当时所理解。虽然黎曼在生前已经被公认为当时代最强的数学家之一，但这只是他那些别的同行看得懂的工作而言，黎曼更重要的思想，在论文中创造出稀奇古怪的新概念，很怀疑当时有几个数学家能够理解，而黎曼开辟的思想方法工具领域，在长达近乎五十年，也就是半个世纪里，都是相对冷门的研究领域，比如黎曼几何，更多的是当作一种可以自洽的几何学，有几个意大利学者在玩，没人觉得这玩意有用，更不是数学界的主流，又比如黎曼猜想，也一样在半个世纪里几乎没几个人问津，相比较而言，魏尔斯特拉斯，雅可比，戴德金，才是数学界的主流，以及阿贝尔伽罗华的学说都开始逐渐成为主流。而且黎曼对于证明的某些不严谨，也让后世数学家们纷纷避开黎曼面这个神级利器。所幸意大利那几个学者默默的坚持搞这些全无用处的学问，以及后世克莱因，希尔伯特，庞加莱的力挺，黎曼终于回到神坛，在重新发现黎曼的过程中，相关学者当然也收获的超级丰厚的回报，尤其是相对论的诞生，黎曼学说更是在弦理论里面大显身手，重新创造新的辉煌。直接让黎曼成为数学史上第一人。

2.在黎曼还活着的时候，他已经是公认的当时最强数学家之一，有之一，但他的成就与地位，公认的不如前一辈的有高斯柯西，同一辈的魏尔斯特拉斯，雅可比，甚至阿贝尔，伽罗华，声望都要高于黎曼，即使和狄利克雷，戴德金，爱森斯坦比，也就半斤八两。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。当时看不清楚，而在160年之后回头看，黎曼才是十九世纪数学界灿烂星空中位居正中央的最耀眼的那一颗，光芒足以照亮整片星空！