所有的周期函数都可以用三角函数表示吗?
1.先回答题主的问题:
函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过。现在可以用的一些命题是:
令,这是f的Fourier级数在一点t处的n阶部分和(它是个卷积哦),其中
为dirichlet核
那么lebesgue常数。这对于你判断一个三角级数是否是某函数(当然它要是
的)的Fourier系数会有帮助(必要条件)。
Fejer给出了一个充分条件:
假如函数是的,那么它的fourier级数在
上几乎处处可切萨罗求和得这个函数。它的推论是:如果
的fourier级数在正测度集
上收敛,那么它在
上几乎处处收敛于
。
由是我们可以构造这样一个函数,使得一个的函数,它的fourier级数几乎处处无界发散:
在闭区间上选取n个点
,假定一列奇数满足:
,定义一列数
和一系列区间
如下:
,
。(
)
然后作函数:,即为所需的反例。
这个周期函数就不可展成fourier级数。至于它的证明,实在太冗长了,也需要实变函数的知识才能理解。
傅里叶级数可以表示成某函数的充分必要条件很复杂(反正我还没见过),对它的研究主要还是集中在实变函数中。比较好的结果是在Dirichlet条件下的。Dirichlet条件:设在
上分段单调或分段可微(有可数个极值点),并且除可数多个第一类间断点外连续,则它的Fourier级数在
上任一点
收敛于
。
我想题主所需要的函数大多满足那样的条件。但一般的微积分教材中都有叙述,我就不再叙述了。
此外,fourier级数与幂级数不同。每一个给定的幂级数,都是某函数的taylor级数;但每一个给定的三角函数,却不一定是某函数的fourier级数。
2.如果给的函数性质足够好,我们如何构造这个三角函数的表示?
你只需要知道,在
当然并不是所有的,比如狄利克雷函数(所有有理数都是1,无理数都是0)。能用三角函数的级数表示的,比连续函数弱一点,至多可数个第一类间断点的周期函数可以用傅立叶级数表示。证明的话,学到就知道了。
说得很好了,Dirichlet条件对于一般的工程问题已经足够。
顺便补充一下反例的函数叫Колмогоров函数。
后来他把”几乎处处“加强到了”处处“,见他的这篇论文。
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-0aa1677561b297901da25a9c4275caab_720w.jpg?source=1940ef5c)
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-8b64710091173067992c8df64e1a266c_720w.jpg?source=1940ef5c)
顺便补充一下反例的函数叫Колмогоров函数。
(以下资料来自:数学学习或研究中你见过哪些有意思的反例? - 知乎用户的回答 - 知乎 )
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-57cc288eb026b13d6d1548f76443e4b1_720w.jpg?source=1940ef5c)
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-0aa1677561b297901da25a9c4275caab_720w.jpg?source=1940ef5c)
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-8b64710091173067992c8df64e1a266c_720w.jpg?source=1940ef5c)
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不可以的 三角函数只是一种特殊的周期函数 而周期函数指的是函数在定义域内的一种现象
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每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。
But it is the same with man as with the tree. The more he seeks to rise into the height and light, the more vigorously do his roots struggle earthward, downward, into the dark, the deep - into evil.
其实人跟树是一样的,越是向往高处的阳光,它的根就越要伸向黑暗的地底。----尼采
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其实人跟树是一样的,越是向往高处的阳光,它的根就越要伸向黑暗的地底。----尼采