[算法] 动态规划 (1) (工作最优收入)

一、问题

 

 

图中的8个灰色在柱状分别表示八份工作。所跨的宽度为做完该工作需要花费的时间。柱体中的红色手写数字为做完该份工作所能挣到的钱。

假设我们不能同时做有时间冲突的工作，问在0-11这个时间范围内，我们最多能挣多少钱？如何安排做哪些工作赚的钱最多。

二、分析问题

这是一个典型的可以使用动态规划（DP）来解决的问题。

1.找出递归规律

首先，我们假设我们一定要做第8份工作的时候，由于一定要做第8份工作，那么由于第6、7份工作与第8份工作有时间冲突，所以6、7不能做。

那么，我们在决定是否选择做第8份工作的时候，假设最大值为OPT(8)。

所以得到以下公式：

 

 

1）如果选择做第8份工作，则OPT(8) = val(8) + OPT(5)   （因为一定要做8的话，前面最多能做到第5份工作）

2）如果不选择做第8份工作，则OPT(8) = OPT(7)    （OPT(7)表示是否选择做7的最大收入）

3）我们在选与不选之间取他们的最大值，最终得到真正的OPT(8)

2.写出递归式

 

 

公式中的prev(i)就是一定要做第i份工作时，前面最近能做的某份工作的编号。例如prev(8) = 5。

prev是我们能够直接通过题目计算出来的：

 

 

有了prev表，我们的OPT就能够全部算出来了。

3.拆分计算过程

 

 

从图中可以看到，我们在求各个OPT的时候，左右分支上会出现Overlap Subproblem（重复子问题）。这个结构和斐波那契数列的递归求解是一样的。时间复杂度是O(2^n)。所以我们可以在计算过程中将这些子问题的结果记录下来（利用列表等）。

4.计算结果

 

 

这样的话，我们求解OPT的时间复杂度就变成了O(n)。

我们计算的过程中，还可以将每一步的最优选择记录下来：

 

 

 5.Python实现代码

import numpy as np


def earnMore(data):
    data_len = len(data)
    # prev记录如果要做某个工作(index)，前面最近的不冲突的工作的编号
    prev_list = np.zeros(9, dtype=int)
    # 是否选择某份工作(index)时，能够达到的最大收益
    opt_list = np.zeros(9, dtype=int)
    # 首先计算各个工作对应的prev,从8开始算
    for i in range(len(data) - 1, 0, -1):
        start_time = data[i]['time'][0]
        for k in range(i - 1, 0, -1):
            end_time = data[k]['time'][1]
            if end_time <= start_time:
                prev_list[i] = k
                break

    # 从1开始计算OPT,记录到opt_list中
    for i in range(1, len(data)):
        if i == 1:
            opt_list[i] = data[i]['val']
            continue
        if prev_list[i] == 0:
            opt_list[i] = max(data[i]['val'], opt_list[i - 1])
        else:
            opt_list[i] = max(data[i]['val'] + opt_list[prev_list[i]], opt_list[i - 1])

    return opt_list


if __name__ == '__main__':
    data = [
        {},
        {'val': 5, 'time': [1, 4]},
        {'val': 1, 'time': [3, 5]},
        {'val': 8, 'time': [0, 6]},
        {'val': 4, 'time': [4, 7]},
        {'val': 6, 'time': [3, 8]},
        {'val': 3, 'time': [5, 9]},
        {'val': 2, 'time': [6, 10]},
        {'val': 4, 'time': [8, 11]}
    ]
    res = earnMore(data)
    print("规定时间内，所能达到的最大收入为",res[-1])

 

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