题解： P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

提供一种快速做法（31ms）~

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首先，枚举是必须的，但是可以快速枚举。

优化 1： 众所周知 \(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)，所以我们只需要枚举 \(a\) 就好了。

优化 2：\(a\) 最大也只用到 \(\sqrt{x \times y}\)，因为分析样例解释发现以后的都是重复的，只是换了个顺序而已，算 2 遍即可。

优化 3：\(a\) 可以从 \(x\) 开始枚举，因为再小了最大公因数就没有 \(x\) 了。

优化 4：每次可以加 \(x\)，因为余数有可加性，\(x \equiv 0 (\bmod \hspace{0.1cm} x)\)，所以能够保证最大公约数不低于 \(x\)。

优化 5：\(x \ge 2\)，所以 \(a \ge y \div 2\) 时就不用枚举了。

结束~ 个 dir 啊

因为就出事儿了……

1. 下面这组数据阁下又该如何应对？

100 100

寄~

因为 \(\sqrt{x * y}\) 的值若是整数按照刚才的逻辑会被算 2 遍，然鹅换了个顺序还是这俩，不能重复计算啊！特判一下就得了>

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ACCode：

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// Problem: P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1029
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
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// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

/*Code by Leo2011*/
#include <bits/stdc++.h>

#define log printf
#define EPS 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define FOR(i, l, r) for (int(i) = (l); (i) <= (r); ++(i))
#define IOS                      \
	ios::sync_with_stdio(false); \
	cin.tie(nullptr);            \
	cout.tie(nullptr);

using namespace std;

typedef __int128 i128;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

int x, y, ans;

template <typename T>

inline T read() {
	T sum = 0, fl = 1;
	char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
		if (ch == '-') fl = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) sum = sum * 10 + ch - '0';
	return sum * fl;
}

template <typename T>

inline void write(T x) {
	if (x < 0) {
		putchar('-'), write<T>(-x);
		return;
	}
	static T sta[35];
	int top = 0;
	do { sta[top++] = x % 10, x /= 10; } while (x);
	while (top) putchar(sta[--top] + 48);
}

int main() {
	x = read<int>(), y = read<int>();
	for (int i = x; i * i <= x * y && i < y >> 1; i += x)
		if (!(x * y % i) && gcd(i, x * y / i) == x) ans += 2;
	if (x == y) ans = 1;
	write<int>(ans);
	return 0;
}

AC 记录~

理解万岁！