连续时间和离散时间的傅里叶级数有限和无限的证明

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最近在看《信号与系统》，连续傅里叶级数和离散傅里叶级数中，离散傅里叶级数的谐波信号种类是有限的，而连续时间信号的傅里叶级数的谐波信号就有无数个，这个让我很不解。

      后来经过公式推导，确实是如此，但还是没有直观理解，因此用matlab画了个图，醍醐灌顶。

----------------------------------------------------我假设你学过信号与系统，或者线性系统分析，否则别往下看------------------------------------------

 

周期为T的连续时间信号x(t)的傅里叶级数表示：

　　　　　　　　　　　　　　　　

它说明，任意一个周期函数（其实非周期函数也可以，不然傅里叶变换就没有意义了）可以用一组简单的复指数函数线性叠加来表示。

其中：这就是一族频率不同的复指数函数，k=1,2,3,......   有无数个

 

好了，同样的，周期为N的离散时间序列x(n)也可以用傅里叶级数表示：

　　　　　　　　　　　　　　　　

n只能取0,1,2,3....等一些离散的整数点，因此是离散序列。

同样，是一族离散的复指数序列。k=1,2,3,4.....看似有无数个

 

 

对离散傅里叶级数来说，复指数序列看起来有无数个，其实只有N个，因为第N个和第N+1个是相同的。

证明如下：

　　　　　　　　

 

　　从式子上很明显，第k个复指数序列和第N+k个是相等的。因此，离散周期函数的傅里叶级数只有N个频率成分（每个复指数函数代表一个频率分量，信号中有学）。而连续时间信号就没有这个性质，它的频率分量有无数个。

     那么，为什么呢？虽然式子上是这样的，但是没有直观上明白。于是用matlab做了个仿真，结果如下：

明白了吗，原因是这样子的：
      连续傅里叶变换的第1个和第1+T个频率分量的图是完全不一样的，因为频率不一样。

      但是，他们在整数点上的采样（也就是对应的离散傅里叶变换的频率分量），是相同的，这也就是为什么离散傅里叶变换第1个和第N+1个频率成分完全相同的原因了。连续函数的图像不同，但是在整数点上的采样，是相同的。

 

 

 

好了，公式编辑不易，截图不易，转载请注明。

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