二叉树 binary tree

1. 定义

二叉树是树的一种，具有如下特点：

（1）每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。

（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

（3）即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

 

2. 二叉树的遍历

（1）先序遍历

又叫先根遍历、先序遍历、前序周游

遍历顺序：VLR，根左右

（2）中序遍历

又叫中根遍历、中序周游

遍历顺序：LVR，左根右

（3）后序遍历

又叫后根遍历、后序周游

遍历顺序：LRV，左右根

 

3. 特殊二叉树

（1）满二叉树：

所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。

特点：

a. 叶子只能出现在最下一层。

b. 非叶子结点度一定是2.

c. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

（2）完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。

特点：

a. 叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）

b. 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。

c. 倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。

d. 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。

 

4. 二叉搜索树（binary search tree）

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉搜索树的查找和插入都很简单，这里就不叙述了。

重点谈谈二叉搜索树一个节点的删除，分为三种情况：

（1）被删除节点是一个叶子节点

这种情况，直接删除即可

（2）被删除节点只有左或者右子树

这种情况，只需要把非空的左子树或者右子树连接到父节点即可（替代要删除的节点）

（3）被删除的节点左右子树都非空

这种情况下，就要找到应被删除节点x的左子树中值最大的叶子节点w（或右子树中值最小的叶子节点），将这个叶子节点w的值与原应该被删除节点x的值交换，然后删除该叶子节点w（即找了个替死鬼）。

如果原应被删除的节点x的左子树根节点y，只有左子树a，右子树为空（即左子树的根节点y是左子树的最大值），那么要在原被删节点x与左子树根节点y值交换之后，把这个左子树的左子树a，连到原被删除节点x的左指针上，然后删除这个左子树根节点y。