力扣第70题 爬楼梯

题目：

​​​​​​70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

# 思路

> 讲述看到这一题的思路

# 解题方法 两种

> 递归解法：

当 n = 0 时，只有一种方法到达楼顶，即不爬任何台阶。

当 n = 1 时，只有一种方法到达楼顶，即爬1个台阶。

当 n > 1 时，爬到第 n 阶的方法数等于爬到第 (n-1) 阶的方法数加上爬到第 (n-2) 阶的方法数。因为每次可以爬 1 或 2 个台阶。

使用递归的方式，对于每个 n，计算爬到第 n 阶的方法数，直到递归到 n = 0 或 n = 1 的情况为止。

最终返回爬到 n 阶的方法数。

---

 

>迭代解法：

使用动态规划的思想，定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示爬到第 i 阶的方法数。

初始化 dp[0] = 1 和 dp[1] = 1，即爬到第 0 阶和第 1 阶的方法数都为 1。

对于每个 i（2 <= i <= n），dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，即爬到第 i 阶的方法数等于爬到第 (i-1) 阶的方法数加上爬到第 (i-2) 阶的方法数。

最终返回 dp[n]，即爬到楼顶的方法数。

# 复杂度

- 时间复杂度:

> $O(n)$ 都是

- 空间复杂度:

> $O(n)$ 都是

递归解法：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        // 初始化三个变量：a, b, sum
        // a代表爬到第 (i-2) 阶的方法数
        // b代表爬到第 (i-1) 阶的方法数
        // sum代表爬到第 i 阶的方法数
        int a = 0, b = 0, sum = 1;
        
        // 迭代计算爬到每一阶的方法数
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 更新 a 的值为上一次的 b
            a = b;
            
            // 更新 b 的值为上一次的 sum
            b = sum;
            
            // 更新 sum 的值为 a + b，即爬到第 i 阶的方法数
            sum = a + b;
        }
        
        // 返回爬到楼顶的方法数
        return sum;
    }
};

---

迭代解法：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) {  // 如果楼梯阶数小于等于1，则只有一种方法到达楼顶，直接返回1
            return 1;
        }
        
        vector<int> dp(n+1, 0);  // 创建一个动态规划数组dp，dp[i]表示爬到第i阶的方法数
        dp[0] = 1;  // 初始化dp[0]为1，表示不爬任何台阶的方法数
        dp[1] = 1;  // 初始化dp[1]为1，表示爬1个台阶的方法数
        
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];  // 爬到第i阶的方法数等于爬到第(i-1)阶的方法数加上爬到第(i-2)阶的方法数
        }
        
        return dp[n];  // 返回爬到楼顶的方法数
    }
};