力扣第343题 整数拆分 c++ 动态规划 + 贪心巧解

题目

343. 整数拆分

中等

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数学   动态规划

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

思路和解题方法(已优化)

1. 首先，我们定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示将正整数i拆分成若干个正整数的和后，这些正整数的乘积的最大值。
2. 接下来，我们进行动态规划的计算。外层循环从3开始，因为对于小于等于2的正整数，无法拆分成多个正整数的和，所以最大乘积就是其本身。内层循环从1遍历到i / 2，表示在正整数i上进行拆分。
3. 对于每个内层循环中的位置(i, j)，我们有两种选择：要么将正整数i拆分成长度为j和(i-j)的两个正整数，要么不再进行拆分。如果选择拆分，那么乘积就是(i - j) * j；如果选择不再拆分，那么乘积就是dp[i - j] * j。我们需要取这两者之间的较大值，然后更新dp[i]。
4. 最终，当外层循环结束时，dp[n]就表示将正整数n拆分成若干个正整数的和后，这些正整数的乘积的最大值。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n^2)

1. 时间复杂度为O(n^2)，因为有两层循环嵌套。其中，外层循环从3到n，内层循环从1到i / 2。

        空间复杂度

                O(n)

空间复杂度为O(n)，因为只使用了一个大小为n+1的一维数组dp。

c++ 代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1); // 创建一个大小为n+1的一维数组dp，用于存储拆分整数i后的最大乘积
        dp[2] = 1; // 对于整数2，无法进行拆分，最大乘积就是其本身

        for (int i = 3; i <= n ; i++) { // 从3开始遍历到n
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { // 在整数i上进行拆分，内层循环从1遍历到i/2
                // 选择将整数i拆分成长度为j和(i-j)的两个部分或者不再进行拆分，取两者之间的较大值
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }

        return dp[n]; // 返回将整数n拆分成若干个正整数之和后，这些正整数的乘积的最大值
    }
};

附贪心思维

解释

1. 首先处理一些特殊情况，当n等于2、3、4时，直接返回对应的结果，因为这些情况无法再进行拆分。
2. 初始化一个变量result为1，用于保存最终的乘积结果。
3. 当n大于4时，不断循环执行以下步骤：
   • 将result乘以3，表示将n拆分出一个长度为3的部分。
   • 将n减去3，表示已经拆分出了一个长度为3的部分。
4. 循环结束后，剩余的n的取值只能是2、3或者4。将result乘以剩余的n，得到最终的乘积结果。
5. 返回最终的乘积结果。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;  // 对于整数2，无法进行拆分，最大乘积就是其本身（1 * 1 = 1）
        if (n == 3) return 2;  // 对于整数3，可以拆分为1 + 2，乘积为1 * 2 = 2
        if (n == 4) return 4;  // 对于整数4，可以拆分为2 + 2，乘积为2 * 2 = 4
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;  // 每次将n拆分成3的部分，因为3的乘积比其他数字更大
            n -= 3;
        }
        result *= n;  // 最后剩下的n小于等于4，直接乘到结果中
        return result;
    }
};

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