B树及其变种

B树是为磁盘或其他直接存取的辅助存储设备而设计的一种平衡搜索树。B树类似于红黑树，但它们在降低磁盘I/O操场数方面要更好一些。许多数据库系统使用B树或B树的变种来存储信息。

介绍

常见的动态查找树包括：二叉查找树，平衡二叉查找树，红黑树，B tree、B⁺tree、B^*tree。前三者是典型的二次查找树结构，其查找效率为O(lgN)，与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。

B树和红黑树的不同之处在于B树的节点可以有很多孩子，从数个到数千个。B树类似于红黑树，就是每颗含有n个节点的B树高度为O(lgn)。然而，一颗B树的严格高度可能比一颗红黑树的高度要小许多，这是因为它的分支因子，也就是表示高度的对数的底数可以非常大。因此，我们也可以使用B树在时间O(lgn)内完成一些动态集合的操作。

B树

用阶定义的B树

B树又叫平衡多路查找树，一个m阶的B树的特性如下：

• 树中的每个结点最多有m个孩子
• 除根和叶子节点外，其他节点至少有[ceil(m/2)]个孩子。ceil(x)是取上限的函数
• 若根节点不是叶子节点，则至少有两个孩子。(特殊情况，没有孩子的根节点，即根节点为叶子节点，整棵树只有一个根节点)
• 所有叶子节点都出现在同一层，叶子节点不包含任何关键字信息。 实际上，这些节点不存在，指向这些节点的指针都为NULL
• 每个非终节点包含n个关键字信息(n, P₀, K₁, P₁, K₂,..., P_n-1, K_n, P_n)，其中：
  • K_i(i = 1,2,...,n)为关键字，且关键字按顺序升序排列K_i-1 < K_i
  • P_i指向子树根节点，其中P_i-1指向的子树中的所有节点关键字都小于K_i，但都大于K_i-1
  • 关键字个数n必须满足[ceil(m/2) - 1] <= n <= m - 1

B树的类型和节点定义

#define m 1024
struct BTNode;
typedef struct BTNode *pBTNode;
struct BTNode{
    int keyNum;      //关键字个数，keyNum < m
    pBTNode parent;   //指向父节点
    pBTNode *ptr;     //子树指针向量ptr[0],ptr[1],...,ptr[keyNum]
    keyType *key;     //关键字向量,key[0], key[1],...,key[keyNum - 1]
};
typedef struct BTNode *BTree;

B树的高度

B树上的大部分的操作所需的磁盘存取次数与B树的高度是成正比的。

当B树中包含N个关键字时，B树的最大高度为h.(因为计算B树的高度是，叶节点所在层不计算在内): h = log_(ceil(m/2))((N+1)/2) + 1

B⁺树

B⁺树与B树的异同

一棵m阶的B⁺树和m阶的B树的异同点在于：

• 有n棵子树的节点中含有n-1个关键字
• 所有的叶子节点中包含了全部的关键字信息及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子节点本身依照关键字的大小顺序链接(而B树中叶子节点不包含任何关键字信息)。
• 所有的非终节点可以看作是索引部分，节点中仅含有其子树根节点中最大或最小关键字。(而B树中的非终节点也包含需要查找的有效信息)。

B⁺树应用

为什么说B⁺树比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？

1. B⁺树的磁盘读写代价更低
2. B⁺树的查询效率更稳定

数据库索引采用B⁺树的主要原因是B树在提高了磁盘I/O性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下问题。正是为了解决这个问题，B⁺树应运而生。B⁺树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作(或者说效率太低)。

B^*树

定义

B^* 树是B⁺树的变体，在B⁺树的基础上(所有叶子节点包含全部关键字信息，及指向含有这些关键字记录的指针)。B ^*树中的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针。B ^*树定义了非叶子节点关键字的个数至少为(2/3) * M,即块的最低使用率的2/3(代替B⁺树的1/2)

B⁺树的分裂

当一个节点满时，分配一个新的节点，并将原节点中的1/2复制到新节点，最后在新节点中增加指向新节点的指针；B⁺树的分裂只影响原节点和父节点，而不会影响兄弟节点，所以它不需要指向兄弟节点的指针

B^*树的分裂

当一个节点满时，如果它的下一个兄弟节点未满，那么将一部分数据移到兄弟节点中，再在原节点上插入关键字，最后修改父节点中兄弟节点的关键字(因为兄弟节点的关键字范围改变了)；如果兄弟节点也满了，则在原节点与兄弟节点之间增加新节点，并各复制1/3的数据到新节点，最后在父节点中增加新节点的指针。所以，B^*树分配新节点的概率比B⁺树低，空间使用率更高。

参考

1. 从B树、B+树、B*树谈到R 树
2. 《算法导论》