51nod 1020 逆序排列 DP

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

 

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

6

相关问题

 

思路：

设dp[i][j]表示1-i的全排列中逆序数为j的个数。试想，假如一直dp[i-1]的每一种状态，那么和dp[i]有什么关系。

不难得出，对于已知的dp[i-1]的基础上，插入i就可以得到dp[i]。但是i的位置放置的不同，就影响了dp[i]的每一项。

列出i取值1,2,3,4的每一项，可以得出一个关系式：

得到这个关系式其实这道题目已经可以做了，利用前缀和优化，但是还可以更进一步

同理有：

此时假设k可以取到0，实际上max在这里只是优化

则可以得到：

最后需要注意相减可能为负数，需要加上mod再取mod

代码：

 

#include <stdio.h>
const int mod=1000000007;
int dp[1001][20001];
void init() {
    for(int i=1;i<=1000;++i) {
        dp[i][0]=1;
    }
    for(int i=2;i<=1000;++i) {
        int maxval=i*(i-1)>>1;
        for(int j=1;j<=maxval&&j<=20000;++j) {
            int temp=0;
            if(j>=i) temp=dp[i-1][j-i];
            dp[i][j]=((dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-temp)%mod+mod)%mod;
        }
    }
}
int main() {
    init();
    int T,n,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d %d",&n,&k);
        printf("%d\n",dp[n][k]);
    }
    return 0;
}