最大熵模型
1. logistic回归模型
1.1 Logsitic分布
设X是服从logistic分布的连续随即变量，则X的分布函数和密度函数如下：
\( F(x)=P(x \le x)=\displaystyle\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}} \)
\( f(x)=F'(x) = \displaystyle\frac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2} \)
分布函数属于Logistic函数，是一条S型曲线
1.2 logistic回归模型
二项logistic回归模型是一种分类模型，有条件概率分布\( P(Y|X) \)表示，形式为参数化的logistic分布。这里X取值为实数，Y取值为1或0.通过监督学习的方法来估计模型参数。
二项logistic回归模型的条件概率分布：
\( P(Y=1|x)=\displaystyle\frac{exp(w \cdot x +b)}{1+exp(w \cdot x + b)} \)
\( P(Y=1|x)=\displaystyle\frac{1}{1+exp(w \cdot x + b)} \)
这里，\( x \in R^n \)是输入，\( Y \in \{0,1\} \)是输出，\( w \in R^n \)和\( b \in R \)是参数，w成为权值向量，b成为偏置。
对于给定的输入x，按照如上公式分别求得\( P(Y=1|x) \)和\( P(Y=0|x) \)，比较里两个条件概率值的大小，将X分到概率值比较大的那个类。属于判别模型。
1.3 模型参数估计
logistic回归模型学习时，对于给定的训练数据集\( T=\{ (x_1,y_1), (x_2, y_2),...,(x_N,y_N)\} \)，其中\( x_i \in R^n, y_i \in \{0,1\} \)，可以使用极大斯然估计法估计模型参数，从而得到logistic模型。
假设 \( \displaystyle P(Y=1|x) = \pi(x) , p(Y=0|x) = 1- \pi(x)\)
似然函数
\( \displaystyle\prod_{i=1}^{N} [\pi(x_i)]^{y_i}[1-/pi(x_i)]^{1-y_i} \)
对数似然函数
\( \displaystyle L(w)=\sum_{i=1}^{N}[y_i log\pi(x_i) + (1-y_i)log(1-\pi(x_i))] \)
\( \displaystyle=\sum_{i=1}^{N}\biggl[y_i log\frac{\pi(x_i)}{1-\pi(x_i)} + log(1-\pi(x_i))\biggr] \)
\( \displaystyle=\sum_{i=1}^{N}[y_i(w \cdot x_i) - log(1+exp(w \cdot x_i))] \)
对\( L(w) \)求极大值，得到\( w \)的估计值。 这样，问题就变成了以对数似然函数为目标的最优化问题。logistic回归学总通常采用的方法是梯度下降法和拟牛顿法。
假设\( w \)极大似然估计为\( \hat w \)，那么学到logistic的回归模型为
\( P(Y=1|x)=\displaystyle\frac{exp(\hat w \cdot x)}{1 + exp(\hat w \cdot x)} \)
\( P(Y=1|x)=\displaystyle\frac{1}{1+exp(\hat w \cdot x)} \)
2. 最大熵模型
2.1 最大熵原理
设随机变量X的概率分布为P(X)，则其熵为
\( H(P)=\displaystyle-\sum_{x}P(x)logP(x) \)
\( 0 \le H(P) \le log|X| \)，\( |X| \)为X的取值个数，当且仅当X的分布式均匀分布时右边的等号成立。也就是说X均匀分布时，熵最大。
直观上，最大熵原理认为要选择的概率模型搜西安必须满足已有的事实，及约束条件。在没有更多信息的条件下，那些不确定的部分都是”等可能的“。最大熵原理通过熵的最大化来表示等可能性。
2.2 最大熵模型
假设所有满足约束条件的模型集合为
\(\displaystyle \mathcal{C} \equiv \{ p \in \mathcal{p}|E_p(f_i)=E_{\tilde{p}}(f_i), i=1,2,...,n \} \)
定义在条件概率分布P(Y|X)上的条件熵为
\(\displaystyle H(P)=-\sum_{x,y} \tilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) \)
则模型集合\( \mathcal{C} \)中条件熵\( H(P) \)最大的模型成为最大熵模型。式中的对数为自然对数。\( f_i\)为特征还函数
\( E_{\tilde{p}}(f) \)表示特征函数\( f(x,y) \)关于经验分布的期望
\(\displaystyle E_{\tilde{P}}(f)=\sum_{x,y}\tilde{P}(x,y)f(x,y) \)
\( E_P(f) \)表示特征函数\( f(x,y) \)关于模型\( P(Y|X) \)与经验分布\( \tilde{P}(X) \)的期望
\(\displaystyle E_P(f)=\sum_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f(x,y) \)
假设模型能够获取训练数据中信息，那么就可以假设这两个期望是相等的，即
\(\displaystyle E_P(f)=E_{\tilde{P}}(f)\)
或
\(\displaystyle \sum_{x,y}\tilde{P}(x,y)f(x,y)=\sum_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f(x,y) \)
这就是模型学习的约束条件，如果有n个特征函数\( f_i(x,y) ,i=1,2,...,n \)，那么就有n个约束条件。
2.3 最大熵模型的学习
最大熵模型的学习过程就是求解最大熵模型的过程，最大熵模型的学习可以形式化为约束最优化问题。
对于给定的训练数据集\( \displaystyle T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N, y_N)} \)，及特征函数\( \displaystyle f_i(x,y),i=1,2,...,n \)，最大熵模型的学习问题等价于约束最优化问题：
\( \displaystyle \max_{p \in C} \quad H(P)=-\sum_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)\log P(y|x) \)
\(\displaystyle s.t. \quad E_P(f_i)=E_{\tilde{P}}(f_i), i=1,2,...,n \)
\(\sum_yP(y|x)=1 \)
改写成最小化问题
\(\displaystyle \min_{p \in C} \quad -H(P)=\sum_{x,y}\tilde{P}P(x,y)\log P(y|x) \)
\(\displaystyle s.t. \quad E_P(f_i)-E_{\tilde{P}}(f_i)=0,i=1,2,...,n\)
\(\displaystyle \sum_{y}P(y|x)=1 \)
看到这种形式，想到引入拉格朗日乘子\( \displaystyle w_0,w_1,w_2,...,w_n \)，定义拉格朗日函数\( L(P,w) \)
\(\displaystyle L(P,w) \equiv -H(P)+w_0 \biggl(1-\sum_yP(y|x) \biggr) + \sum_{i=1}^{n}w_i (E_{\tilde{P}}(f_i)- E_P(f_i)) \)
\(\displaystyle =\sum_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)\log P(y|x) + w_0 \biggl(1-\sum_y P(y|x) \biggr) + \sum_{i=1}^{n}w_i \biggl(\sum_{x,y} \tilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f_i(x,y) \biggr) \)
最优化的原始问题是
\(\displaystyle \min_{P \in C} \quad \max_{w} L(P,w) \quad \quad (*)\)
对偶问题是
\(\displaystyle \max_{w} \min_{p \in C} L(P,w) \quad \quad (**)\)
由于拉格朗日函数\(\displaystyle L(P,w) \)是P的凸函数，原始问题的解与对偶问题的解是等价的.
首先求解对偶问题**内部的极小化问题 \(\displaystyle \min_{P \in C}L(P,w)\)，他是w的函数，记做
\(\displaystyle \Psi(w) = \min_{P \in C}L(P,w)=L(P_w,w) \)
则
\(\displaystyle P_w=arg \min_{P \in C}L(P,w)=P_w(y|x) \)
具体的，求\(\displaystyle L(P,w) \)对\(\displaystyle P(y|x) \)的偏导
\(\displaystyle \frac{\eth L(P,w)}{\eth P(y|x)}=\sum_{x,y} \tilde P(x)(\log P(y|x)+1)-\sum_y w_0 -\sum_{x,y} \biggl(\tilde P(x)\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y) \biggr) \)
\(\displaystyle =\sum_{x,y}\tilde P(x) \biggl(\log P(y|x)+1-w_0-\sum_{i=1}^{n}w_if_i(x,y) \biggr) \)
令其等0，在\(\displaystyle \tilde P(x) >0 \)的情况下，解得
\(\displaystyle P(y|x)=\exp \biggl( \sum_{i=1}^{n}w_i f_i (x,y) + w_0 -1 \biggr) =\frac{\exp \bigl( \sum_{i=1}^{n}w_i f_i (x,y) \bigr)}{\exp (1-w_0)}\)
由于
\(\displaystyle \sum_y P(y|x)=1 \)
得
\(\displaystyle P_w(y|x)=\frac{1}{Z_w(x)}\exp \bigl( \sum_{i=1}^n w_i f_i (x,y) \big) \)
其中
\(\displaystyle Z_w(x)=\sum_y \bigl( \sum_{i=1}^n w_i f_i (x,y)\bigr) \)
\(\displaystyle Z_w(x) \)称为规范化因子；\(\displaystyle f_i(x,y) \)是特征函数；\(\displaystyle w_i \)是特征权值。\(\displaystyle P_w=P_w(y|x)\)就是最大熵模型。
然后，求解对偶问题外部的极大化问题
\(\displaystyle \max_w \Psi(w) \quad \quad (1)\)
将其解记为\(\displaystyle w^*\)，即
\(\displaystyle w^*=arg \max_w \Psi(w) \quad \quad (2)\)
这就是说，可以应用最优化算法求对偶函数\(\displaystyle \Psi(w)\)的极大化，得到\(\displaystyle w^*\)，用来表示\(\displaystyle P^* \in C\)。这里\(\displaystyle P^*=P_{w^*}=P_{w^*}(y|x)\)就是学习到的最有模型（最大熵模型）。也就是说，最大熵模型的学习归结为对偶函数\(\displaystyle \Psi(w)\)的极大化。
2.4 极大似然估计
下面证明对偶函数的极大化等价于最大熵模型的极大似然估计。
已知训练数据的经验概率分布\(\displaystyle \tilde P(X,Y)\)，条件概率分布\(\displaystyle P(Y|X) \)的对数似然函数为
\(\displaystyle L_{\tilde P}(P_W) = \log \prod_{x,y} P(y|x)^{\tilde P(x,)}=\sum_{x,y} \tilde P(x,y)\log P(y|x)\)
当条件概率分布\(\displaystyle P(y|x)\)是最大熵模型（1）和（2）时，对数似然函数\(\displaystyle L_{\tilde P}(P_W) \)为
\(\displaystyle L_{\tilde P}(P_W) = \sum_{x,y} \tilde P(x,y) \log P(x,y)\)
\(\displaystyle =\sum_{x,y}\tilde P(x,y) \sum_{i=1}^n w_i f_i (x,y) - \sum_{x,y}\tilde P(x,y)\log Z_W(x)\)
\(\displaystyle =\sum_{x,y}\tilde P(x,y) \sum_{i=1}^n w_i f_i (x,y) - \sum_{x}\tilde P(x)\log Z_W(x)\)
