P7960 [NOIP2021] 报数 题解

思路

考虑先确定一个数可不可以被报出来。

考虑递归定义布尔函数 \(f(x)\) 表示 \(x\) 不可以报出来，那么：

\[\begin{cases} 1, &f(x\bmod 10)\land x\bmod 10\neq 7 \\ 1, &\forall y|x\land f(y) \\ 0,&other \end{cases} \]

读者可以思考一下第一个条件的正确性。

那么现在我们要算所有 \(x\) 在 \(10^7\) 的 \(f(x)\)，怎么算呢？

首先这个东西不用搞递归，容易发现 \(f(x\bmod 10)\) 或者 \(\forall y|x\) 中的 \(f(y)\) 会比 \(x\) 先算到，所以可以直接 \(O(n)\) 递推。

然后呢？然后为了标记对于每个 \(y\) 的所有倍数，我们要搞一个均摊 \(\log n\) 的循环去标记。对于任意一个 \(i\)，若 \(vis_i=0\land f(i)\)，那么就要把 \(i\) 的倍数 \(j(j\geqslant1)\) 标记为 \(vis_j=1\)。

这一部分做完之后，我们已经用 \(n\log n\) 的时间复杂度算出了任意一个数是否可行。那怎么处理下一个数要报多少呢？

考虑递推，因为 \(vis_i\) 被预处理出来表示这个数可不可行，所以若 \(x_i\) 表示 \(i\) 的下一个可报出数，那么：

\[\begin{cases} x_i=x_{i+1},&vis_{i+1}=0 \\x_i=i+1,&vis_{i+1}=1 \end{cases} \]

为了保证正确性，从后往前递推即可。

代码

先 \(n\log n\) 处理 \(vis_i\)，像在思路中提到的一样：

for(int i=1;i<=n;i++){
	if(cannot[i/10]||i%10==7){
		cannot[i]=1;
	}
	if(cannot[i]&&!vis[i]){
		vis[i]=1;
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
			vis[j]=1;
		}
	}
}

这里的 \(n\) 取 \(10^7+1\)。下同。

然后像思路中所述的 \(O(n)\) 递推即可：

for(int i=n;i>=1;i--){
	if(vis[i+1]){
		ans[i]=ans[i+1];
	}
	else{
		ans[i]=i+1;
	}
}

最后答案都被存进 \(ans\) 里面了，对于每个询问，输出对应的 \(ans\)。当然若对于每个询问，对应的 \(vis\) 是 \(1\) 的话就要输出 \(-1\) 了。