莫比乌斯反演

其实我更想把他类比于符号函数，定义域N⁺，值域{-1，0，1}

定义函数：

根据定义有：

同时容易得出：

现定义公式：

代入到上述f(i)的求取，我们可以得到：

那么其中的μ(d)就是莫比乌斯函数，定义如下：

（1）当d=1时，μ(d)=1；

（2）当d=p₁p₂...p_k为互异素数，μ(d)=-1;

（3）其他情况下，μ(d)=0.

莫比乌斯函数的性质：

（1）对于任意正整数有：

i：当n=1时，显然成立

ii：当n>1时，因为素因子存在，可以将n分解为:

在r的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为r个的因子有C^r_k个

可以拿n=51450=2*3*5*5*7*7*7举例

其中质因数个数为1的因子有C¹₇=7个。有：2 3 5 7 25 49 343

其他类比即可

那么有：

即证明：

因为有二项式定理，将x=-1,y=-1，即证。

（2）莫比乌斯函数也是积性函数，所以其前缀和也是积性函数

两种求莫比乌斯函数的模板：

在线：

ll mubi(ll n) {
    ll mu=1;
    for(ll i=2;i*i<=n;++i) {
        if(n%i==0) {
            mu*=-1;
            ll k=0;
            do {
                k++;
                if(k>1) {
                    mu=0;break;
                }
                n/=i;
            }while(n%i==0);
        } 
    }
    if(n>1) mu*=-1;
    return mu;
}

离线：

mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
    if(!not_prime[i])
    {
        prime[++tot]=i;
        mu[i]=-1;
    }
    for(j=1;prime[j]*i<=n;j++)
    {
        not_prime[prime[j]*i]=1;
        if(i%prime[j]==0)
        {
            mu[prime[j]*i]=0;
            break;
        }
        mu[prime[j]*i]=-mu[i];
    }
}