递归问题

第一章递归问题

1.1 河内塔

n个圆盘移动从一个柱子借助一个柱子，移动到另一个柱子上的次数为 ：

递推式：T(n)=2*T(n-1)+1 , n>0,T(0)=0

归纳法得出：T(n)=pow(2,n)-1 n>=0

寻求封闭形式的表达式三个阶段：

（1）研究小的情形。

（2）对有意义的量求出数学表达式并给出证明。

（3）对数学表达式求出封闭形式并予以证明。

1.2 平面上的直线

n刀(直线)最多能把平面分为：

递推式：L(n)=L(n-1)+n , n>0 ,L(0)=1

对递推式展开或解开，如下：

L(n)=L(n-1)+n

=L(n-2)+(n-1)+n

=….

=L(0)+1+2+...+(n-1)+n

=1+n*(n+1)/2, n>=0

S(n)=1+2+...+n,求S(n) 可以用S(n)和它的反向书写相加

若n刀（呈锯齿形）最多能把平面分为：

Z(n)=L(2*n)-2*n=2*n*n-n+1, n>=0

1.3 约瑟夫问题

n个人形成圈，每隔一个人出列，问最后一个人的序列？

(1)若刚开始序列中有偶数（2*n）个人，经过一轮后，序列为：1,3,5….2*n-1， 既可以看作是n 个人的情况，序列号加倍减一， 即J(2*n)=2*J(n)-1 , n>=1

(2)若刚开始序列中有奇数（2*n+1）个人，经过一轮后，序列为：3,5,7,...2*n+1 ，看作n个人的情况，序列号加倍加一 ,即J(2*n+1)=2*J(n)+1 , n>=1

递推式：

J(1)=1;

J(2*n)=2*J(n)-1 , n>=1

J(2*n+1)=2*J(n)+1 , n>=1

通过递推式打出表格：

n	1	2 3	4 5 6 7	8 9 10 11 12 13 14 15
J(n)	1	1 3	1 3 5 7	1 3 5  7 9  11 13 15

猜想 J(pow(2,m)+l)=2*l+1 , m>=0 ,0<=l<pow(2,m) 通过数学归纳法证明该猜想

 

待续。。。。。。。