莫比乌斯反演推导

Proof : \(g(m)=\sum\limits_{d|m}f(d) \iff f(m)=\sum\limits_{d|m}\mu(d)g(\frac{m}{d})\)
\(\rightarrow\\\sum\limits_{d|m}\mu(d)g(\frac{m}{d})=\sum\limits_{d|m}\mu(\frac{m}{d})g(d)=\sum\limits_{d|m}\mu(\frac{m}{d})\sum\limits_{k|d}f(k)=\sum\limits_{k|m}f(k)\sum\limits_{d|\frac{m}{k}}\mu(\frac{m}{kd})=\sum\limits_{k|m}f(k)\sum\limits_{d|\frac{m}{k}}\mu(d)=\sum\limits_{k|m}f(k)[\frac{m}{k}=1]=f(m)\)
\(\leftarrow\\ \sum\limits_{d|m}f(d)=\sum\limits_{d|m}\sum\limits_{k|d}\mu(k)g(\frac{d}{k})=\sum\limits_{d|m}\sum\limits_{k|d}\mu(\frac{d}{k})g(k)=\sum\limits_{k|m}g(k)\sum\limits_{d|\frac{m}{k}}\mu(d)=\sum\limits_{k|m}g(k)[\frac{m}{k}=1]=g(m)\)
Proof : \(g(m)=\sum\limits_{d\geq1}f(\frac{m}{d}) \iff f(m)=\sum\limits_{d\geq1}\mu(d)g(\frac{m}{d})\)
\(\rightarrow\\\sum\limits_{d\geq1}\mu(d)g(\frac{m}{d})=\sum\limits_{d\geq1}\mu(d)\sum\limits_{k\geq1}f(\frac{m}{kd})=\sum\limits_{n\geq1}f(\frac{m}{n})\sum\limits_{k,d\geq1}\mu(d)[n=kd]=\sum\limits_{n\geq1}f(\frac{m}{n})\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{n\geq1}f(\frac{m}{n})[n=1]=f(m)\)
\(\leftarrow \\ \sum\limits_{d\geq1}f(\frac{m}{d})=\sum\limits_{d\geq1}\sum\limits_{k\geq1}\mu(k)g(\frac{m}{kd})=\sum\limits_{n\geq1}g(\frac{m}{n})\sum\limits_{k,d\geq1}\mu(k)[n=kd]=\sum\limits_{n\geq1}g(\frac{m}{n})\sum\limits_{k|n}\mu(k)=\sum\limits_{n\geq1}g(\frac{m}{n})[n=1]=g(m)\)