2021 年 7月随笔档案 - leiyuanze

[SDOI2014]数表

摘要：

Problem

$\text{Problem}$ 求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} σ_{1} (gcd (i, j))

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sigma_1(\gcd(i,j))$ 当且仅当

σ (gcd (i, j)) \leq a

$\sigma(\gcd(i,j)) \le a$ 时有贡献多组询问，答案对

2^{31}

$2^{31}$ 取模 \(1 \le n,m \le 阅读全文

posted @ 2021-07-22 15:35 leiyuanze 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HEOI2016/TJOI2016]排序

摘要：$\text 非常巧妙的二分答案因为只有一个询问，且答案满足单调性，所以二分答案

m i d

$mid$ 原序列中大于等于

m i d

$mid$ 的数的位置赋为

1

$1$ ，否则赋为

0

$0$ 然后走一遍排序操作，用线段树赋值完成排序最后检查

q

$q$ 位置上的情况，

0

$0$ 就不行，

1

$1$ 就可以阅读全文

posted @ 2021-07-21 21:40 leiyuanze 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P4146 序列终结者

摘要：

支 持 区 间 加 区 间 翻 转 区 间 最 大 值

$\text 支持区间加区间翻转区间最大值$ \text

FHQ-Treap

$\text{FHQ-Treap}$ 两个标记加与翻转然后维护区间最大值 $\text #include <cstdio> #include <algorithm> #include <ctime> #define re registe 阅读全文

posted @ 2021-07-21 20:10 leiyuanze 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「CEOI2019」魔法树

摘要：$\text 设

f_{x, i}

$f_{x,i}$ 表示以

x

$x$ 为根的子树

i

$i$ 天后的最大收益那么

f_{x, i} = max (f_{x, i - 1}, w_{x} [d [x] \geq i] + \sum f_{v, i})

$f_{x,i} = \max(f_{x,i-1},w_x [d[x] \ge i] + \sum f_{v,i})$ 这样的转移时

O (n k)

$O(nk)$ 的，只能拿到

34 p t s

$34pts$ 阅读全文

posted @ 2021-07-21 19:15 leiyuanze 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[CQOI2014]排序机械臂

摘要：

S o l u t i o n

$Solution$ 非常板的一道题，支持区间翻转本人采用

FQH-Treap

$\text{FQH-Treap}$ 实现，按排名分裂题目显然可以转化为找区间最小值的位置，只要每次把当前最小值扔出

Treap

$\text{Treap}$ 为处理最小值相同的情况，就离散化处理然后维护子树最小值就对了 $\text 阅读全文

posted @ 2021-07-20 21:45 leiyuanze 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P6156 简单题

摘要：

\text

$\text$ \text 显然

f = μ^{2}

$f=\mu^2$ 那么 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (i+j)^k &= \sum_{d=1}^n \mu^2(d) d^{k+1} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} 阅读全文

posted @ 2021-07-20 15:55 leiyuanze 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]数字表格

摘要：$\text 求

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f (gcd (i, j))

$\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m f({\gcd(i,j)})$ 其中

f (n) = {\begin{cases} 0 & n = 0 \\ 1 & n = 1 \\ f (n - 1) + f (n - 2) & n > 1 \end{cases}

$f(n)= \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & n=1 \\ f(n-1)+f(n-2) & n > 1 \end{cases}$

T

$T$ 组阅读全文

posted @ 2021-07-20 15:30 leiyuanze 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P4449 & JZOJ 于神之怒

摘要：

J Z O J 上 ， 求 \[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} gcd (i, j)^{k} \] 对 \(10^{9} + 7 \) 取 模 \(n, m, k \leq 5 \times 10^{6} \) L G 上 ， 是 一 个 加 强 版 ， 有 \(T （ T \leq 2 \times 10^{3} ） \) 组 数 据

$\text JZOJ上，求 \[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \gcd(i,j)^k \] 对 $10^9+7$ 取模 $n,m,k \le 5 \times 10^6$ LG 上，是一个加强版，有 $T（T\le 2 \times 10^3）$ 组数据$ \t 阅读全文

posted @ 2021-07-20 15:12 leiyuanze 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[国家集训队]Crash的数字表格

摘要：

求 \[(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i ， j)) mod 20101009 \] \(n \leq 10^{7} \)

$\text 求 \[ \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i，j) \right) \bmod{20101009} \] $n \le 10^7$$ \text 套路地推式子 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j= 阅读全文

posted @ 2021-07-19 21:41 leiyuanze 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P3768 简单的数学题

摘要：$\text 求

(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i j gcd (i, j)) mod p

$\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i j \gcd(i,j)\right) \bmod p$

n \leq 10^{10} ， 5 \times 10^{8} \leq p \leq 1.1 \times 10^{9}

$n \le 10^{10}，5 \times 10^8 \le p \le 1.1 \times 10^9$ 且 \(p \in \mathb 阅读全文

posted @ 2021-07-18 20:11 leiyuanze 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2018 屠龙勇士

摘要：$\text 这题怎么做非常明显依照关卡循环，然后利用数据结构维护当天用的剑（如权值线段树或平衡树，建议

s e t

$set$ ）通过一元同余方程解出当前关卡的答案（没有或有无数个，用通解表示）把每个关卡答案的通解联立起来，就有了一堆同余方程组扩展中国剩余定理求解即可注意无解情况的判断（即解方程时阅读全文

posted @ 2021-07-18 19:11 leiyuanze 阅读(44) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P4213【模板】杜教筛（Sum）

摘要：$\text 求

\sum_{i = 1}^{n} φ (i)

$\sum_{i=1}^n \varphi(i)$ 和

\sum_{i = 1}^{n} μ (i)

$\sum_{i=1}^n \mu(i)$

1 \leq n < 2^{31}

$1 \le n < 2^{31}$

S o l u t i o n

$Solution$ 终于开始学杜教筛了！！！求积性函数

f

$f$ 的前缀和，杜教筛可以低于线性考虑卷积，构造积性函数 \ 阅读全文

posted @ 2021-07-15 21:38 leiyuanze 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3447.摘取作物

摘要：

在 一 个 矩 阵 里 选 数 ， 每 行 最 多 选 两 个 ， 每 列 最 多 选 两 个 ， 最 大 会 价 值 \(n, m \leq 30 \)

$\text 在一个矩阵里选数，每行最多选两个，每列最多选两个，最大会价值 $n,m \le 30$$ \text 对个这个限制如何实现？跑费用流把行看做点，列看做点点对

(i, j)

$(i,j)$ 就用

i

$i$ 行点连向

j

$j$ 列点，流量为

1

$1$ ，费用为

- v [i] [j]

$-v[i][j]$ 阅读全文

posted @ 2021-07-14 15:23 leiyuanze 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3448.公路维护

摘要：

1 . 询 问 区 间 最 小 值 是 否 大 于 \(0 \) 2. 区 间 加 （ 可 正 可 负 ） 3. 区 间 取 \(max \) 如 果 某 个 数 经 过 操 作 后 小 于 等 于 \(0 \) ， 以 后 的 操 作 就 不 会 再 影 响 这 个 数

$\text 1.询问区间最小值是否大于 $0$ 2.区间加（可正可负） 3.区间取 $\max$ 如果某个数经过操作后小于等于 $0$，以后的操作就不会再影响这个数$ \text 显然要用线段树维护这个区间区间加和

max

$\max$ 打个双标记就好了，给加法优先然后考虑区间加的过程阅读全文

posted @ 2021-07-14 15:13 leiyuanze 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 4496. 【GDSOI 2016】第一题互补约数

摘要：

求 \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{d | n} gcd (d, \frac{i}{d}) \) 有 \(n \leq 10^{11} \)

$\text 求 $\sum_{i=1}^n \sum_{d|n} \gcd(d, \frac{i}{d})$ 有 $n \le 10^{11}$$ \text 一眼就知道要欧拉反演（虽然考场写了莫反）那么就要套路套路地推式子了先给出欧拉反演的一般形式 \(n = \sum_{d|n} 阅读全文

posted @ 2021-07-13 22:04 leiyuanze 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2013]项链

摘要：

非 常 经 典 的 题

$\text 非常经典的题$ \text 显然将思考过程分为两步 $\text 求合法珍珠的种类数设

f (i)

$f(i)$ 表示

gcd = i

$\gcd = i$ 的本质不同的珍珠种类数

g (i)

$g(i)$ 表示

i | gcd

$i | \gcd$ 的本质不同的珍珠种类数那么 \(g(i) = \sum_{i|d} f 阅读全文

posted @ 2021-07-12 21:12 leiyuanze 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3423.Vani和Cl2捉迷藏 & [CTSC2008]祭祀

摘要：

求 一 个 \(D A G \) 的 最 长 反 链

$\text 求一个 $DAG$ 的最长反链$ \text 由

D i l w o r t h

$Dilworth$ 定理只最长反链等于最小链覆盖而原图的链是可相交的，所以我们先做一遍

F l o y d

$Floyd$ 传递闭包，使得原图的链不必相交即可覆盖这样就转化为最小链覆盖（顶点不可相交）于是用网络流经典模型解决 $\tex 阅读全文

posted @ 2021-07-12 20:45 leiyuanze 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 4366. 【GDKOI2016】项链

摘要：

给 出 一 个 项 链 ， 删 去 连 续 的 一 部 分 ， 使 剩 下 的 对 称 ， 且 长 度 最 长

$\text 给出一个项链，删去连续的一部分，使剩下的对称，且长度最长$ \text 可以发现，剩下的合法项链一定是由两个回文串接起来（由对称性质可知）先套路地将项链倍长那么我们只要用

Manacher

$\text{Manacher}$ 算出以每个点中心的回文半径

p [i]

$p[i]$ 找到两个中心 \(i,j 阅读全文

posted @ 2021-07-11 20:58 leiyuanze 阅读(44) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3304. Theresa与数据结构

摘要：

标 准 四 维 偏 序 带 修 改 （ 加 和 删 除 ） 和 询 问 的 三 维 空 间 正 方 体 内 部 （ 包 括 边 上 ） 的 点 的 数 目

$\text 标准四维偏序带修改（加和删除）和询问的三维空间正方体内部（包括边上）的点的数目$ \text 打法很多，

cdq

$\text{cdq}$ 套

cdq

$\text{cdq}$ 加上树状数组处理或者

cdq

$\text{cdq}$ 套树套树（如树状数组套线段树）等方法都可以 \(\text{K- 阅读全文

posted @ 2021-07-10 15:44 leiyuanze 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P5043 树同构

摘要：

无 根 树 同 构 的 判 断

$\text 无根树同构的判断$ \text 考虑树哈希，注意使用较正确的哈希方法无根树同构有个性质只要判断以这两棵树的重心为根是否同构即可 $\text #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstri 阅读全文

posted @ 2021-07-08 15:34 leiyuanze 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斯坦那树学习笔记

摘要：引子最小斯坦纳树大概意思就是一个图给出

k （ k \leq 10 ）

$k（k \le 10）$ 个关键点，要求选出若干条边使得这

k

$k$ 个关键点连通，求边权和的最小值

A n a l y s i s

$Analysis$ 发现

k

$k$ 很小，考虑状压

d p

$dp$ 为得到最优解，我们需要考虑以每个点为根的形态设

f_{i, S}

$f_{i,S}$ 阅读全文

posted @ 2021-07-07 20:51 leiyuanze 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P3653 小清新数学题

摘要：

Poblem

$\text{Poblem}$ 求

\sum_{i = l}^{r} μ (i)

$\sum_{i=l}^r \mu(i)$

1 \leq l, r \leq 10^{18}, r - l \leq 10^{5}

$1 \le l,r \le 10^{18}, r - l \le 10^5$

Analysis

$\text{Analysis}$ 我们做过

r, l \leq 10^{12}

$r,l \le 10^{12}$ 次方的区间筛积性函数但这是因为

\sqrt{r}

$\sqrt r$ 内的阅读全文

posted @ 2021-07-07 19:27 leiyuanze 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Luogu P3601 签到题

摘要：

签 到 题

$\text 签到题$ \text 区间筛积性函数，如

φ

$\varphi$ 因为

r - l \leq 10^{6}

$r-l \le 10^6$ ，所以这个问题就是非常经典的了比较常见的技巧

φ (n) = n \prod (1 - \frac{1}{p})

$\varphi(n)=n\prod(1-\frac 1 p)$

[l, r]

$[l,r]$ 以内的数若不为素数分解质因数后最小的必然小于阅读全文

posted @ 2021-07-06 16:20 leiyuanze 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二进制枚举子集

摘要：

\text for(int S = 0; S < (1 << n); S++) for(int T = S; T; T = (T - 1) & S) //do something

$\text for(int S = 0; S < (1 << n); S++) for(int T = S; T; T = (T - 1) & S) //do something$ \text

T

$T$ 为

S

$S$ 的子集，且枚举子集的复杂度是

O (3^{n})

$O(3^n)$ 阅读全文

posted @ 2021-07-06 11:49 leiyuanze 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3242. Spacing

摘要：$\text 最大值最小很容易想到二分答案然后用

d p

$dp$ 检查设

f_{i}

$f_i$ 表示当前行最后一个为

i

$i$ 时最优情况最大空格数是否小于

m i d

$mid$ 若

f_{i} = 1

$f_i = 1$ 可行则存在一个

j

$j$ ，令

j

$j$ 为当前行开头使得

f_{j - 1} = 1

$f_{j-1} = 1$ 且阅读全文

posted @ 2021-07-05 16:18 leiyuanze 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JZOJ 3293. 【SHTSC2013】阶乘字符串

摘要：

给 定 一 个 由 前 \(n \) 个 小 写 字 母 组 成 的 串 \(S \) 。 串 \(S \) 是 阶 乘 字 符 串 当 且 仅 当 前 \(n \) 个 小 写 字 母 的 全 排 列 （ 共 \(n! \) 种 ） 都 作 为 \(S \) 的 子 序 列 （ 可 以 不 连 续 ） 出 现 。 判 断 \(S \) 是 否 是 阶 乘 字 符 串 多 组 数 据

$\text 给定一个由前 $n$ 个小写字母组成的串 $S$。串 $S$ 是阶乘字符串当且仅当前 $n$ 个小写字母的全排列（共 $n!$ 种）都作为 $S$ 的子序列（可以不连续）出现。判断 $S$ 是否是阶乘字符串多组数据$ \text 一个结论：当 \(n 阅读全文

posted @ 2021-07-05 16:01 leiyuanze 阅读(55) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[POI2011]MET-Meteors

摘要：

[P O I 2011] M E T - M e t e o r s

$\text [POI2011]MET-Meteors$ \text 为方便操作，我们把长度为

m

$m$ 的环倍长，把修改

l < r

$l < r$ 的

r

$r$ 改为

r + m

$r+m$ 而后就可以整体二分了二分答案，把需要的修改放到树状数组，检查询问时一个一个枚举其所在位置，相应划分询问，继续二分阅读全文

posted @ 2021-07-05 08:06 leiyuanze 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LG P2617 Dynamic Rankings

摘要：

Problem

$\text{Problem}$ 动态区间第

k

$k$ 小 Dynamic Rankings

Analysis

$\text{Analysis}$ 整体二分原本一个询问可二分，但多个询问效率太低考虑离线，把修改和询问扔到一起二分答案，运用树状数组之类的东西处理完修改操作依次检查询问，划分左右，初步确阅读全文

posted @ 2021-07-05 07:52 leiyuanze 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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