[APIO2018] Duathlon 铁人两项

$\text{Problem}$

给定一张简单无向图，问有多少对三元组 $(s,c,f)$（$s,c,f$ 互不相同）使得存在一条简单路径从 $s$ 出发，经过 $c$ 到达 $f$。

$\text{Solution}$

很显然先建出圆方树，然后考虑 $(s,c,f)$ 存在的数量
我的一般想法是考虑固定 $c$ 统计 $(s,f)$ 的数量
这确实用了树的性质，但没用到圆方树的性质，而且因为点双的讨论，使统计非常复杂
后来看了看正解，颇有一种如获至宝的感觉
考虑固定 $s,f$ 统计 $c$ 的数量，那就是 $s$ 到 $f$ 所有简单路径点的并集大小 $-2$（即除去 $s,f$）
貌似也并不好弄，然而放到圆方树上就成了路径上圆点和方点所连的圆点的个数
于是不难想到将方点权值赋为与其相连圆点个数，圆点权值赋为 $-1$
$s$ 到 $f$ 所有简单路径点的并集大小即为路径上的点权和
统计的话，换种思考角度，变为统计一个点的点权的贡献，这就很简单了

$\text{Code}$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define RE register
#define IN inline
using namespace std;
typedef long long LL;
 
const int N = 2e5 + 5;
int n, m, cnt, top, tot1, tot2, dfc;
int val[N], h1[N], h2[N], low[N], dfn[N], siz[N], stk[N];
LL ans;
struct edge{int to, nxt;}e1[N * 5], e2[N * 5];
IN void add1(int x, int y){e1[++tot1] = edge{y, h1[x]}, h1[x] = tot1;}
IN void add2(int x, int y){e2[++tot2] = edge{y, h2[x]}, h2[x] = tot2;}
 
void Tarjan(int x)
{
	dfn[x] = low[x] = ++dfc, stk[++top] = x, val[x] = -1;
	for(RE int i = h1[x]; i; i = e1[i].nxt)
	{
		int v = e1[i].to;
		if (!dfn[v])
		{
			Tarjan(v), low[x] = min(low[x], low[v]);
			if (dfn[x] == low[v])
			{
				++cnt, add2(cnt, x), add2(x, cnt), ++val[cnt];
				for(RE int u = 0; u ^ v; --top)
					u = stk[top], add2(cnt, u), add2(u, cnt), ++val[cnt];
			}
		}
		else low[x] = min(low[x], dfn[v]);
	}
}
 
void Dfs(int x, int fa)
{
	siz[x] = (x <= n);
	for(RE int i = h2[x]; i; i = e2[i].nxt)
	{
		int v = e2[i].to;
		if (v == fa) continue;
		Dfs(v, x), ans += 2LL * val[x] * siz[v] * siz[x], siz[x] += siz[v];
	}
	ans += 2LL * val[x] * siz[x] * (dfc - siz[x]);
}
 
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(RE int i = 1, x, y; i <= m; i++) scanf("%d%d", &x, &y), add1(x, y), add1(y, x);
	cnt = n;
	for(RE int rt = 1; rt <= n; rt++)
		if (!dfn[rt]) top = dfc = 0, Tarjan(rt), Dfs(rt, 0);
	printf("%lld\n", ans);
}