Prufer序列 学习笔记

$Prufer$ 序列

$\texttt{definition}$

$Prufer$ 序列序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1..n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示。你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射。
显然你不会想不开拿这玩意儿去维护树结构。这玩意儿常用组合计数问题上。

$\texttt{Construction sequence}$

Prufer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 $n-2$ 次后就只剩下两个结点，算法结束。
很容易想到用堆做到 $O(n\log n)$

然而可以线性构造

以上摘自 oi-wiki

$\texttt{nature}$

1. 在构造完 $Prufer$ 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 $n$ 。
2. 每个结点在序列中出现的次数是其度数减 $1$ 。（没有出现的就是叶结点）

$\texttt{Rebuild the tree}$

重建树的方法是类似的。根据 $Prufer$ 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。然后你也可以得到度数最小的叶结点编号，而这个结点一定与 $Prufer$ 序列的第一个数连接。然后我们同时删掉这两个结点的度数。
每次我们选择一个度数为 $1$ 的最小的结点编号，与当前枚举到的 $Prufer$ 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度。到最后我们剩下两个度数为 $1$ 的点，其中一个是结点 $n$ 。就把它们建立连接。使用堆维护这个过程，在减度数的过程中如果发现度数减到 $1$ 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 $O(n\log n)$ 的。
同理我们可以线性构造
在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 $p$ 的大小关系，如果更小就优先考虑它

$\texttt{Gayley's formula}$

凯莱定理
完全图 $K_n$ 有 $n^{n-2}$ 棵生成树。
怎么证明？方法很多，但是用 $Prufer$ 序列证是很简单的。任意一个长度为 $n-2$ 的值域 $[1..n]$ 的整数序列都可以通过 $Prufer$ 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 $n^{n-2}$ 。

图的联通方案数

大家可以去看上文的链接
一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带标号无向图有 $k$ 个连通块。我们希望添加 $k-1$ 条边使得整个图连通。求方案数。
这里只写出结论 $ans = n^{k-2}\prod_{i=1}^k s_i$