【佛山市选2009】有道难题

$Description$

从前有个人，叫好人。他非常擅长解决数学问题。今天他正在做这样的一道数学题：
给定三个正整数 $X$ , $Y$ 和$Z$ $(X < Y, Z > 1)$ 满足
　　　 $$X ^ Z + Y ^ Z + X Y Z = K$$
其中 $K$ 是另一个给定的正整数。
找出该问题的一个解方案对好人来说是非常简单的事。现在，他想继续挑战一下：该等式总共有多少组不同的解方案呢？
意外的是，这个好人居然做不出来。看来，这是一道难题。现在，是你的 $show time$ 了。

$Input$

输入包含多组数据。
对于每组数据，只有一个整数 $K$。
当 $K = 0$ 时表示输入结束。

$Output$

对每组数据，输出一行，仅包含一个整数，表示解方案的个数。

$Sample Input$

9
53
6
0

$Sample Output$

1
1
0

$Hint$

【样例解释】

$9 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 * 2 * 2$

$53 = 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 2 * 3 *3$

【数据说明】
　　对于 50% 的数据，$0 < K < 100000$ 。
　　对于 100% 的数据，$0 < K < 2^{31}$。

解析

暴力瞎搞，容易想到
考虑先枚举一个 $z$ ，易知 $x,y$ 的范围是 $1$ 到 $\lfloor \sqrt[z] k \rfloor$
暴力枚举 $x$，从 $1$ 开始，每次加 $1$
$y$ 先指向 $\lfloor \sqrt[z] k \rfloor$
把 $x,y,z$ 代入计算
若值大了，缩小 $y$；等于记贡献；小于 $break$，$x + 1$
而再进入枚举 $y$ 时，不需要重新指向 $\lfloor \sqrt[z] k \rfloor$
因为 $x$ 变大了，$y$ 就不可能比上次大
所以 $y$ 最多移动 $\lfloor \sqrt[z] k \rfloor$ 次
因而时间复杂度约莫是：

$$O(log_2 k·log_2^2k·\sqrt[z] k)$$

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
 
inline LL fpow(LL x , LL y)
{
	LL res = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) res = res * x;
		x = x * x , y >>= 1; 
	}
	return res;
}
 
inline LL yroot(int x , int y)
{
	LL res = 1;
	while (fpow(res , y) <= x) res++;
	return (fpow(res , y) == x ? res : res - 1);
}
 
int main()
{
	register LL k , ans , _k;
	scanf("%d" , &k);
	while (k != 0)
	{
		ans = 0;
		for(register LL z = 2; z <= 30; z++)
		{
			LL l = yroot(k , z) , y = l;
			for(register LL x = 1; x <= l; x++)
				while (y && y > x)
				{
					_k = fpow(x , z) + fpow(y , z) + x * y * z;
					if (_k == k) ans++;
					if (_k <= k) break;
					y--;
				}
		}
		printf("%d\n" , ans);
		scanf("%d" , &k);
	}
}

小巧玲珑，愉快 $AC$