合并排序算法的分析

合并排序算法依照分治模式，直观地操作如下：

分解：将n个元素分成各含n/2个元素的子序列；

解决：用合并排序法对两个子序列递归地排序；

合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。

 

以下给出递归形式的T(n)即最坏情况下合并排序n个数的运行时间。当n>1时，将运行时间如下分解：

分解：这一步仅仅是计算出子数组的中间位置，需要常量时间，因而D(n) = O(1)。

解决：递归地解两个规模为n/2的子问题，时间为2T(n/2)。

合并：在一个含有n个元素的子数组上，MERGE过程的运行时间为O(n)，则C(n) = O(n)。

 

即得到合并排序的最坏情况运行时间T(n)的递归表示：

T(n) = O(1)                       当 n = 1

T(n) = 2T(n/2) + O(n)       当 n > 1

递归式重写为：

T(n) = c                            当 n = 1

T(n) = 2T(n / 2) + cn        当 n > 1

将递归式扩展成一种等价树形表示，直到问题的规模降到了1，这时每个问题的代价为c。

这时候，这棵树顶层的总代价为 cn，下一层的总代价为c(n/2) + c(n/2)，直至最底层，每一个结点的代价为c，该层的总代价为cn。

而“递归树”中总的层数为 lgn + 1。于是整棵树总的代价为 cn(lgn + 1) = cn lgn + cn。忽略低阶项和常量c，即得到结果 O(n lgn)。