三角学知识复习

诱导公式：

 θ关于原点对称的角为π+θ，关于X轴对称的为-θ，关于Y轴对称的为π-θ（关键理解点:先负角度，然后在加上π），关于y=x对称的角为π/2-θ

因为在单位圆中，sinθ=y，cosθ=x，tanθ=y/x，根据这几个对称，有

 

 

 因为

 所以

 

 

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

因为a-b=a+（-b）

sin(a+b)=cos(pi/2-a-b)=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb

=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=cos(pi/2-a+b)=cos(pi/2-a)cosb-sin(pi/2-a)sinb

=sinacosb-cosasinb

tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=tana+tanb/(1-tana*tanb)

tan(a-b)=tan(a+(-b))=tana-tanb(1+tana*tanb)

 

tan(a/2)= sina/(1+cosa)= (1-cosa)/sina

d

 

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb.....................................(1)

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.....................................(2)

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.....................................(3)

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb.....................................(4)

 

(1)+(2)

cosacosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))

cosA+cosB=2*cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)

(1)-(2)

sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))

cosA-cosB=-2*sin(A/2+B/2)sin(A/2-B/2)

(3)+(4)

sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))

sinA+sinB=2*sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)

(3)-(4)

cosasinb=1/2(sin(a+b)-sin(a-b))

sinA-sinB=2cos(A/2+B/2)sin(A/2-B/2)

 

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

证明如下：βα

POP₁=β, P₁OX=α,POX=α-β

PA垂直与OP_1，
cos(α-β)=OM=OB+BM=OAcosα+AP*sinα

=cosαcosβ+sinαsinβ

 

利用向量方法:

 

 

 

 

 证明