NOI 2008 志愿者招募 题解 (神奇费用流)

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思路很清奇的网络流题

这种第i天需要至少$a_i$人的限制，按常规思路容易想到在i号点和i+1号点之间连一条容量为$a_i$的边，并强制流满。但是如果雇佣了一个人，他只能从$s_i天工作到t_i$天，我们无法控制他只流这个区间内的边，所以需要换一种思路。

考虑如下建图。对于第i天的限制，我们从第i个点到第i+1个点连一条边，费用为0，先不管它的容量是多少，反正这条边代表第i天的限制。然后对于第i类人，从第$s_i$个点到第$t_i+1$个点连容量为inf，费用为$c_i$的边，这条边的最终流量就代表招募的这种人的个数。然后从源点到第1个点连容量为inf费用为0的边，从第n+1个点到汇点也连一样的边。其实这个图跑最小费用最大流的最终费用就是答案(第一类边的容量接下来说明)，考虑证明。

令这个图的最大流量为tot。由于这个图是一个dag，根据网络流的性质，在取最小费用最大流时，对任意i，第$i(1\le i \le n)$个点到第$i+1$个点的所有边(包括直接相连的边以及跨过i和i+1中间这个空档的志愿者边)的总流量是tot。我们希望对于任意i，跨过i和i+1之间的空档的志愿者边的流量总和$\ge a_i$，这等价于i和i+1之间直接相连的那条边的流量$\le tot-a_i$。如果我们令每条$i\to i+1$的边的容量为$inf-a_i$(注意这题中提到的inf都不是无穷，而是一个很大的数比如1e16)，其实这个图的最大流量就是inf(这个待会证明)，也就是tot=inf，且此时显然每条$i\to i+1$的边流量都不超过$tot-a_i$，所以在这个情况下求出的最小费用最大流的费用就是答案。

然后来证明这个图的最大流是inf。首先由于源点到1号点的容量就是inf，所以最大流不会超过inf。由于题目保证有解，那么假设我们随意取出一组解(不需要费用最小)，并按照这个解先分配好每条志愿者边的流量。然后强制这个图的总流量是inf，然后从左往右推，该由志愿者边分流的时候就分流，其余的直接沿着$i\to i+1$的边往前流，发现永远不会发生边容量不够的情况，所以最大流$\ge inf$。综上，最大流量就是inf。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
 
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <LL,LL>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mpr make_pair
 
void fileio()
{
  #ifdef LGS
  freopen("in.txt","r",stdin);
  freopen("out.txt","w",stdout);
  #endif
}
void termin()
{
  #ifdef LGS
  std::cout<<"\n\nEXECUTION TERMINATED";
  #endif
  exit(0);
}
 
using namespace std;
 
struct edge
{
	LL to,flow,cost,rev;
	edge(LL a,LL b,LL c,LL d):to(a),flow(b),cost(c),rev(d){}
};
namespace minCostFlow
{
	vector <edge> g[10010];
	LL n,dist[10010],cur[10010];
  bool inq[10010],vis[10010];
	queue <LL> q;
	void add_edge(LL x,LL y,LL flow,LL cost)
	{
		g[x].pb(edge(y,flow,cost,(LL)g[y].size()));
		g[y].pb(edge(x,0,-cost,(LL)g[x].size()-1));
	}
  bool relax(LL to,LL fr,LL e)
  {
    if(dist[to]>dist[fr]+e)
    {
      dist[to]=dist[fr]+e;
      return true;
    }
    return false;
  }
  bool spfa(LL s,LL t)
  {
    rep(i,n+3) dist[i]=1e18;
    dist[s]=0;inq[s]=true;q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
      LL p=q.front();q.pop();inq[p]=false;
      rep(i,g[p].size()) if(g[p][i].flow>0)
      {
        if(relax(g[p][i].to,p,g[p][i].cost)&& !inq[g[p][i].to])
        {
          inq[g[p][i].to]=true;
          q.push(g[p][i].to);
        }
      }
    }
    return dist[t]<1e18;
  }
  pii dfs(LL pos,LL t,LL fl)
  {
    if(pos==t) return mpr(fl,0);
    vis[pos]=true;
    for(LL i=cur[pos];i<g[pos].size();++i,++cur[pos]) if(!vis[g[pos][i].to]&&g[pos][i].flow>0&&dist[g[pos][i].to]==dist[pos]+g[pos][i].cost)
    {
      pii res=dfs(g[pos][i].to,t,min(fl,g[pos][i].flow));
      if(res.fi>0)
      {
        res.se+=g[pos][i].cost*res.fi;
        g[pos][i].flow-=res.fi;g[g[pos][i].to][g[pos][i].rev].flow+=res.fi;
        vis[pos]=false;
        return res;
      }
    }
    vis[pos]=false;
    return mpr(0,0);
  }
  pii mcmf(LL s,LL t)
  {
    pii ret=mpr(0,0);
    while(spfa(s,t))
    {
      rep(i,n+3) cur[i]=0;
      while(true)
      {
        pii val=dfs(s,t,1e18);
        if(val.fi==0) break;
        ret.fi+=val.fi;ret.se+=val.se;
      }
    }
    return ret;
  }
}
 
LL n,m,a[1010];
 
int main()
{
  fileio();
 
  cin>>n>>m;
  repn(i,n) scanf("%lld",&a[i]);
  LL ss=n+2,tt=n+3,inf=1e16;
  minCostFlow::add_edge(ss,1,inf,0);minCostFlow::add_edge(n+1,tt,inf,0);
  repn(i,n) minCostFlow::add_edge(i,i+1,inf-a[i],0);
  rep(i,m)
  {
    LL x,y,z;
    scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
    minCostFlow::add_edge(x,y+1,inf,z);
  }
  minCostFlow::n=n+3;
  cout<<minCostFlow::mcmf(ss,tt).se<<endl;
 
  termin();
}