Codeforces Good Bye 2022 CF 1770 F Koxia and Sequence 题解

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注意题目要求的是所有好序列的所有元素的XOR之和的XOR之和。我一开始以为是所有XOR之和的加法和导致不知道官方题解在讲什么。

假设我们枚举一个位置$1\le i\le n$和一个数值$v$，统计第i个位置为v的好序列的个数，如果个数为奇数就可以把最终答案异或上v。由于对于同一个v和不同的i，这个个数都相同，所以n为偶数的时候最终答案是0。要先把这个特判掉，不然影响后面思考。n为奇数的情况，其实我们就只要枚举所有v，求出$a_1=v$的好序列的个数，如果是奇数就把答案异或上v就行了。把数值的每一位拆开进一步转化成这样：枚举一个bit i($0\le i\le19$)，求出$a_1$的二进制第i位为1的好序列的个数，如果个数是奇数则最终答案的第i位为1。观察可以发现这个问题形式与之前的那个等价。

我们先枚举i。一个好的序列要满足所有元素的或=y，要求刚好=y是很难计算的，不如用容斥：定义$f_s$表示所有元素的或是s的子集(可以=s)，且和为x，同时满足$a_1$的第i位为1的好序列个数。那么或刚好=y的好序列数量=$\sum_{s\subseteq y}f_s(-1)^{|s\ xor\ y|}$。令$g_s=f_s\ mod \ 2$，那么或刚好=y的好序列数量奇偶性=$\bigoplus_{s\subseteq y}g_s$，其中$\bigoplus$表示异或和。

当确定了i和s时，$g_s$其实是好算的。先看不要求$a_1$的第i位为1的情况，$g_s=(\sum_{t_1,t_2\cdots t_n,\sum_t=x} \prod_{i=1}^n [t_i\&s=t_i])mod\ 2$。有一个关于组合数的结论，$[m\&n=m]=\binom nm \ mod\ 2$，也就是$\binom nm$为奇数的充要条件是$m$为$n$的子集。所以$g_s=(\sum_{t_1,t_2\cdots t_n,\sum_t=x} \prod_{i=1}^n \binom{s}{t_i}\ mod\ 2)mod\ 2=\binom{ns}{x}\ mod\ 2$。加上要求$a_1$的第i位为1的条件，其实也只要改成要求$s$的第i位为1，然后$g_s=\binom{ns-2^i}{x-2^i}\ mod\ 2$就行了。

枚举所有i和s然后算出所有$g_s$就能求出最终答案了。总时间复杂度$O(ylogy)$。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
 
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <int,int>
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
#define pb push_back
 
void fileio()
{
  #ifdef LGS
  freopen("in.txt","r",stdin);
  freopen("out.txt","w",stdout);
  #endif
}
void termin()
{
  #ifdef LGS
  std::cout<<"\n\nEXECUTION TERMINATED";
  #endif
  exit(0);
}
 
using namespace std;
 
LL n,x,y;
 
int main()
{
  fileio();
 
  cin>>n>>x>>y;
  if(n%2==0){puts("0");return 0;}
  LL ans=0;
  rep(i,20)
  {
    LL res=0;
    for(LL sub=y;sub>0;sub=(sub-1)&y) if(sub&(1<<i))
    {
      LL up=n*sub-(1LL<<i),dn=x-(1LL<<i);
      if(up<0||dn<0) continue;
      if((up&dn)==dn) res^=1;
    }
    if(res) ans|=(1<<i);
  }
  cout<<ans<<endl;
 
  termin();
}