2022 年 5月随笔档案 - LegendStane

[题解] Atcoder ABC 225 H Social Distance 2 生成函数，分治FFT

摘要：题目首先还没有安排座位的

m - k

$m-k$ 个人之间是有顺序的，所以先把答案乘上

(m - k)!

$(m-k)!$ ，就可以把这些人看作不可区分的。已经确定的k个人把所有座位分成了k+1段。对于第i段，如果我们能求出这一段恰好额外坐j人时的代价总和

f_{i, j}

$f_{i,j}$ ,并令

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 的普通生成函数为

F_{i} (x)

$F_i(x)$ ，答阅读全文

posted @ 2022-05-16 11:07 LegendStane 阅读(124) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[题解] Atcoder ABC 213 H Stroll DP，分治FFT

摘要：题目令

d p_{i, j}

$dp_{i,j}$ 表示从点1到达点i，路径长度为j的方案数。转移为

d p_{i, j} = \sum_{(i, v, w) \in E} d p_{v, j - w} p_{i, v, w}

$dp_{i,j}=\sum_{(i,v,w)\in E}dp_{v,j-w}p_{i,v,w}$ 。显然只能从长度小的转移到长度大的，而且转移是一个自己和自己卷积的形式。考虑分治FFT，当分治到

(l, r)

$(l,r)$ 时，考虑$dp 阅读全文

posted @ 2022-05-11 13:21 LegendStane 阅读(126) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] Codeforces 1349 D Slime and Biscuits 概率，推式子，DP，解方程

摘要：题目神题。很多东西都不知道是怎么凑出来的，随意设置几个变量，之间就产生了密切的关系。下次碰到这种题应该还是不会做罢。令

E_{x}

$E_x$ 为最后结束时所有的饼干都在第x个人手中的概率*时间的和。

a n s = \sum E_{x}

$ans=\sum E_x$ 。令

C

$C$ 为现在所有的饼干都在第x个人手中，要将它们全部转移到第y($x \neq 阅读全文

posted @ 2022-05-09 19:15 LegendStane 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] Topcoder 15279 SRM 761 Div 1 Level 3 SpanningSubgraphs DP，容斥

摘要：题目考虑DP。

f (m s k, i)

$f(msk,i)$ 表示集合

m s k (一 定 包 含 0 号 点)

$msk(一定包含0号点)$ ，选了恰好i条边的连通方案数。转移用容斥，用这个点集内部所有连边方案减去不连通的。令

| e_{m s k} |

$|e_{msk}|$ 表示两个端点都在集合msk内的边数，D为

e_{∁_{m s k} s u b}

$e_{\complement_{msk}sub}$ (sub在msk中补集内阅读全文

posted @ 2022-05-08 16:41 LegendStane 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] LOJ 3300 洛谷 P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题数学，第二类斯特林数，下降幂

摘要：题目题目里要求的是：

\sum_{k = 0}^{n} f (k) \times X^{k} \times (\binom{n}{k})

$\sum_{k=0}^n f(k) \times X^k \times \binom nk$ 这里面出现了给定的多项式，还有组合数，这种题目的套路就是先把给定的普通多项式转成下降幂多项式。这一步可以做到

O (m l o g m)

$O(mlogm)$ ，(模板)但是这题不需要，这个后面再说。假设阅读全文

posted @ 2022-05-08 12:00 LegendStane 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] Atcoder AGC 005 F Many Easy Problems NTT，组合数学

摘要：题目观察当k固定时答案是什么。先假设每个节点对答案的贡献都是

(\binom{n}{k})

$\binom{n}{k}$ ，然后再减掉某个点没有贡献的选点方案数。对于一个节点i，它没有贡献的方案数显然就是所有k个节点都选在i连出去的某一个子树内的方案数。枚举节点i，把i连出去的每一个子树的size都加入一个序列c，则答案为$\bi 阅读全文

posted @ 2022-05-07 19:37 LegendStane 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] BZOJ 3456 洛谷 P4841 [集训队作业2013]城市规划多项式，分治FFT

摘要：题目令

f_{i}

$f_i$ 表示n个点的答案。考虑容斥，用所有连边方案减去有多个连通块的方案。枚举1号点所在的连通块大小：

f_{i} = 2^{i (i - 1) / 2} - \sum_{j > 0}^{i - 1} f_{j} (\binom{i - 1}{j - 1}) 2^{(i - j) (i - j - 1) / 2}

$f_i=2^{i(i-1)/2}-\sum_{j>0}^{i-1}f_j \binom{i-1}{j-1}2^{(i-j)(i-j-1)/2}$

(\binom{i - 1}{j - 1})

$\binom{i-1}{j-1}$ 表阅读全文

posted @ 2022-05-07 17:19 LegendStane 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] Codeforces 438 E The Child and Binary Tree DP，多项式，生成函数

摘要：题目首先令

f_{i}

$f_i$ 表示权值和为

i

$i$ 的二叉树数量，

f_{0} = 1

$f_0=1$ 。转移为：

f_{k} = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{k - c_{i}} f_{j} f_{k - c_{i} - j}

$f_k=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{k-c_i}f_j f_{k-c_i-j}$ 令多项式

D = \sum_{i = 0}^{m} [i 在 c 中 出 现 过] x^{i}

$D=\sum_{i=0}^m [i在c中出现过]x^i$ ，

F (x) 为 f 的 普 通 生 成 函 数

$F(x)为f的普通生成函数$ ，根据转移式发现阅读全文

posted @ 2022-05-07 14:54 LegendStane 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[题解] Codeforces 1548 C The Three Little Pigs 组合数学，生成函数

摘要：题目首先令

x = i

$x=i$ 时的答案为

f_{i}

$f_i$ ，令

f_{i}

$f_i$ 对应的普通生成函数为

F (x)

$F(x)$ 。很容易发现

F (x) = \sum_{i = 0}^{n} (1 + x)^{3 i}

$F(x)=\sum_{i=0}^n (1+x)^{3i}$ ，sigma是在枚举第几轮吃(i=0也枚举了，不影响答案),

(1 + x)^{3 i}

$(1+x)^{3i}$ 是在枚举

3 i

$3i$ 只猪里哪些会被吃。用等比数列求和阅读全文

posted @ 2022-05-07 14:07 LegendStane 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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