笔记 - 随笔分类 - LegendStane

摘要：已知两个数组

a, b

$a,b$ ，求一个数组

c

$c$ ，满足

c_{i} = \sum_{j + k \equiv i (M O D K)} a_{j} b_{k} (M O D M)

$c_i=\sum_{j+k\equiv i(MOD\ K)}a_jb_k(MOD\ M)$ 。这里我们把这个东西称为下标模意义下的多项式乘法。那么这个东西怎么做呢？ **先说结论：**如果MOD M意义下存在K次单位根，那么把平时用NTT做多项式乘法时的阅读全文

posted @ 2022-12-18 11:51 LegendStane 阅读(133) 评论(1) 推荐(1) 编辑

最小生成树 Boruvka算法及例题 (CSAcademy MST and Rectangles)

摘要：求最小生成树有两种广为人知的方法，Kruskal和Prim。但是在某些特殊的情况下，比如边特别多但是边权满足一些特殊的性质，这时需要用到Boruvka算法。 Boruvka的算法流程如下：一开始没加任何边的情况下，每个点都是一个独立的连通块。每一轮，对每个连通块找出连接它和另一个连通块的权值最小的边阅读全文

posted @ 2022-11-09 11:12 LegendStane 阅读(598) 评论(0) 推荐(0) 编辑

长链剖分 O(1) 求树上 k 级祖先

摘要：长链剖分也是一种树上的链剖分的方法。与重链剖分不同，长链剖分对于树上的每个点，取子树深度最大的儿子，向它连重边，其他的儿子向它连轻边。容易发现一个点所在的重链的长度至少为它子树的深度。利用这个性质可以

O (n l o g n)

$O(nlogn)$ 预处理，

O (1)

$O(1)$ 求树上任意节点的k级祖先。比如当前要询问点x的k级祖先(k 阅读全文

posted @ 2022-10-27 17:51 LegendStane 阅读(332) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CSP 初赛部分知识整理

摘要：几年前整理的东西，要不就发到网上吧不过现在这些东西里面也有很多考得比以前少了卡特兰数

f (i) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f (i) f (n - i - 1)

$f(i)=\sum_\limits{i=0}^{n-1}{f(i)f(n-i-1)}$ 其中

f (0) = 1

$f(0)=1$

f (n) =

$f(n)=$ 一个凸

n

$n$ 边形用不相交的对角线划分成三角形的方法种数。证明：对于一条边，在另外的阅读全文

posted @ 2022-09-17 09:28 LegendStane 阅读(118) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 兰道定理 Landau's Theorem

摘要：兰道定理的内容：一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所有顶点按照入度d从小到大排序，对于任意

k \in [0, n - 1]

$k\in [0,n-1]$ 都不满足

\sum_{i = 0}^{k} d_{i} = (\binom{k + 1}{2})

$\sum_{i=0}^k d_i=\binom{k+1}{2}$ 。兰道定理的证明：引理：一个竞赛图强连通的充要条件是对于任意

S ⊊ 点 集 V

$S \subsetneq 点集V$ ，阅读全文

posted @ 2022-08-31 11:23 LegendStane 阅读(1184) 评论(1) 推荐(1) 编辑

[笔记] 一种快速求 1 ~ n 逆元的方法

摘要：我们现在要求1~n在mod m意义下的逆元(n<m，m为素数)。对于一个[1,n]中的数i，我们令

k = ⌊ \frac{m}{i} ⌋, r = m m o d i

$k=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor,r=m \ mod \ i$ 然后

k i + r \equiv 0 (m o d m)

$ki+r \equiv 0 (mod \ m)$ 两边同时乘上

i^{- 1} r^{- 1}

$i^{-1}r^{-1}$ ，得到$kr^{ 阅读全文

posted @ 2022-08-22 21:49 LegendStane 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 二维FFT

摘要：假设现在有2个矩阵a和b，分别是n行m列和x行y列，现在你要计算它们的二维卷积，也就是求出矩阵s满足：

s_{i, j} = \sum_{i^{'} \leq i, j^{'} \leq j} a_{i^{'}, j^{'}} b_{i - i^{'}, j - j^{'}}

$s_{i,j}=\sum_{i'\leq i,j'\leq j}a_{i',j'}b_{i-i',j-j'}$ 先把两个矩阵的行数都扩展到不小于n+x的最小2的次幂数，列数同理，这个跟普通FFT 阅读全文

posted @ 2022-08-22 14:30 LegendStane 阅读(508) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 欧拉定理

摘要：欧拉定理的内容：当

a > φ (m)

$a>\varphi(m)$ 时，

x^{a} \equiv x^{(a m o d φ (m)) + φ (m)} (m o d m)

$x^a \equiv x^{(a \ mod \ \varphi(m))+\varphi(m)} \ (mod \ m)$ 。当

x 和 m

$x和m$ 互质时，

x^{φ (m)} \equiv 1

$x^{\varphi(m)}\equiv 1$ ，很多地方讲欧拉定理的时候只有这一条，实际上上面那一阅读全文

posted @ 2022-08-09 21:33 LegendStane 阅读(118) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[笔记] 求质数的原根

摘要：素数的原根的定义：若

g^{0}, g^{1} \dots g^{p - 1}

$g^0,g^1 \cdots g^{p-1}$ 在mod p意义下各不相同，则g是p的一个原根。质数的最小的原根通常很小，所以从2开始枚举每一个正整数，判断其是否为p的原根。判断的方法：如果g不是p的原根，则存在

0 \leq i < j \leq p - 1

$0\leq i < j \leq p-1$ 满足

g^{i} \equiv g^{j}

$g^i≡g^j$ 阅读全文

posted @ 2022-07-08 21:53 LegendStane 阅读(716) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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