后缀树

后缀树Suffix-Tree的应用

前言

关于字符串的处理，如最长公共子串、回文问题等，用后缀树可以很好的解决，下面对其应用做一个简单的介绍。

什么是后缀树

后缀树（Suffix tree）是一种树形数据结构，能快速解决很多关于字符串的问题。后缀樹的概念最早由Weiner 於1973年提出，既而由McCreight 在1976年和Ukkonen在1992年和1995年加以改進完善。

总结起来，它主要可以解决类似如下的一些问题：

• 查找字符串o是否在字符串S中
• 指定字符串T在字符串S中的重复次数
• 字符串S中的最长重复子串
• 两个字符串S1，S2的最长公共部分

这些问题如何解决，我们最后再谈。

结构定义

假设我们现在有一个字符串T = "mississippi"，那么我们可以列出它所有的后缀字符串：

Python

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T1=mississippi T2=ississippi T3=ssissippi T4=sissippi T5=issippi T6=ssippi T7=sippi T8=ippi T9=ppi T10=pi T11=i T12=(empty)

然后对所有的非空后缀做排序，可以得到如下字符串组：

Python

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

T11=i T8  =ippi T5  =issippi T2  =ississippi T1  =mississippi T10=pi T9  =ppi T7  =sippi T4  =sissippi T6  =ssippi T3  =ssissippi

可以看出很明显的树形规律，我们可以把这棵树画出来：

其中每个叶子节点都可以引出一个字符串，图中一共十个字符串（缺少空串和i字串，为了解决此问题，通常我们会在字符串的末尾加上一个$符号，这样构造后缀树的时候就不会出现少串的现象了）

上图中，每个叶子节点在原字符串的起始位置也可以标出来，即：

后缀树的应用

现在再来看看本文开头提到的四个问题，对照上面的图，我们很容易可以获得他们的解法：

• 查找字符串o是否在字符串S中
  解法：如果S存在于o中，那么S必然是o的某一个后缀的前缀，按照Trie树搜索前缀的方法，遍历后缀树即可。复杂度为O(M)，其中M为字符串S的长度。
• 指定字符串T在字符串S中的重复次数
  解法：在字符串S后追加$构造包含所有后缀的完整后缀树，在其中找到T子川，的最后一个节点，该节点拥有的叶子节点个数几位重复次数，复杂度为O(M)，M为T的长度。
• 字符串S中的最长重复子串
  解法：遍历整个后缀树，找到深度最大的非叶子节点，复杂度为O(N)，N为字符串的长度。
• 两个字符串S1，S2的最长公共部分
  解法：分别 为S1、S2追加#、$作为末尾，把他们压入同一个后缀树，然后找到最深的非叶子节点，该节点的叶子节点中，既有#又有$。复杂度为构造两颗后缀树的复杂度之和，取最大即可max(O(N),O(M))，其中N、M为S1、S2的长度，假设我们以线性时间构造了后缀树，下位讲解构造方法。

最初的构造方法(O(N^2))

按照上文的图形，我们可以想到一个自然而然的方法构造后缀树，即遍历字符串，取得每一个后缀，然后再遍历这个后缀，依次添加到后缀树中，这种做法由于要遍历两次，复杂度接近于O(N^2)，其过程为(假设有字符串S = papua)：

改进的构造方法

1995年Ukkonen发明了新的构造算法，可以把后缀树的构造时间复杂度控制在线性时间内。

后缀树跟后缀Trie有着一样的布局, 但它把只有一个儿子的节点给剔除了. 这个过程被称为路径压缩, 这意味着树上的某些边将表示一个序列而不是单独的字符。如上面的papua的后缀树中，从根节点引出的ua，其实是由两个节点u、a构成的，但是因为u只有一个儿子节点，所以把他们合并，以压缩存储空间。

McCreight最初的构造法是有些缺陷的, 原则上它要按逆序构造, 也就是说字符要从末端开始插入. 如此一来, 便不能作为在线算法, 它变得更加难以应用于实际问题, 如数据压缩。而且遍历插入后缀树也需要N^2两级的事件。

Ukkonen把原算法作了一些改动, 把它变成了从左往右。对于所给的文本T, Esko Ukkonen的算法是由一棵空树开始, 逐步构造T的每个前缀的后缀树. 比如我们构造BANANAS的后缀树, 先由B开始, 接着是BA, 然后BAN, … . 不断更新直到构造出BANANAS的后缀树。如图：

因此，每次把一个原字符串的前缀追加到后缀树中，相当于更新该后缀树，如在BA后加入BAN，相当于只是新增了N字符在末尾，依次类推，我们主要关注后缀树的更新即可。

具体的更新过程比较复杂，可以参考下面的文章了解。

 

 

Suffix tree—后缀树

l  简介

后缀树是一种PAT树，它描述了给定字符串的所有后缀，许多重要的字符串操作都能够在后缀树上快速地实现。

l  定义

一个长度为n的字符串S，它的后缀树定义为一棵满足如下条件的树：

n  从根到树叶的路径与S的后缀一一对应。即每条路径惟一代表了S的一个后缀；

n  每条边都代表一个非空的字符串；

n  所有内部节点（根节点除外）都有至少两个子节点。

由于并非所有的字符串都存在这样的树，因此S通常使用一个终止符号进行填充（通常使用$）。

 

l  优点

n  匹配快。对于长度为m的模式串，只需花费至多O(m)的时间进行匹配。

n  空间省。Suffix tree的空间耗费要低于Suffix trie，因为Suffix tree除根节点外不允许其内部节点只含单个子节点，因此它是Suffix trie的压缩表示。