圆形划分区域（空间）

一道阿里的笔试题目（大意）：一个平面空间内，使用一个圆形将空间划分，例如一个圆形将空间划分为两个区域（包括圆外面的），两个圆形最多可以划分4个区域；三个圆最多可以划分8个，4个圆可最多划分14个；。。。。。

 

一开始，思路：由新增的圆去切割现有的区域，考虑如何才可以切割最多区域。但是，当区域成倍的增加，图形过于复杂，搅乱思路；忽想编程之美的一道题目“光线切割区域”的思路；

考虑其相交的点入手。

首先考虑两个圆最多只能有两个交点；

假设现有 n-1个圆，区域数为 f(n-1)；

现在填多一个圆进去，那么这个圆最多和所有的（n-1个）圆最多就有2*(n-1)个交点，即是说：

这个圆被2*(n-1)个交点分成了2*(n-1)段弧；关键就在这里，每一段弧就意味在其将某个空间一分为二；

这样，新添了这个圆之后将会在之前的基础上添加了2*(n-1)个区域；即f(n) = f(n-1) + 2*(n-1);

考虑边界条件，得：

f(n) = {  2  ;　　　　　　　　n=1

　　　 {  f(n-1)+ 2*(n-1);   n=2,3,4...

化简一下（化为一般式）：

f(n) = n^2 -n + 2;

 

毕