从多个角度来理解协方差(covariance)
起源:协方差自然是由方差衍生而来的,方差反应的是一个变量(一维)的离散程度,到二维了,我们可以对每个维度求其离散程度,但我们还想知道更多。我们想知道两个维度(变量)之间的关系,直观的举例就是身高和体重(青少年),我们采集到的数据里面有一种固有的性质,那就是身高越高的样本似乎总有着更大的体重,那我们如何衡量这种关系呢,单独求两个方差是不行的。
因此协方差应运而生,它的公式也与方差极度同源,方差是每个样本减去均值的平方后去平均(n-1),协方差就把平方的2拆成1+1,就是x减去x的平均,乘以,y减去y的平均,最后对整体取平均。
这个公式似乎有点难以直观理解,先别管,先说结论。
该公式的另一种写法:
协方差的效果是:协方差的值如果为正值,则说明两者是正相关的 (数值越大,相关性越强),结果为负值就说明负相关的,如果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。
再来说原理,如何直观的理解这个协方差公式能达到这种效果呢?
网上有篇文章讲得十分好,以下转载:
如果正相关,这个计算公式,每个样本对(Xi, Yi), 每个求和项大部分都是正数,即两个同方向偏离各自均值,而不同时偏离的也有,但是少,这样当样本多时,总和结果为正。下面这个图就很直观。下面转载自:http://blog.csdn.net/wuhzossibility/article/details/8087863
在概率论中,两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系,大致有下列3种情况:
当 X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有: X 越大 Y 也越大, X 越小 Y 也越小,这种情况,我们称为“正相关”。
当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有:X 越大Y 反而越小,X 越小 Y 反而越大,这种情况,我们称为“负相关”。
当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出:既不是X 越大Y 也越大,也不是 X 越大 Y 反而越小,这种情况我们称为“不相关”。
怎样将这3种相关情况,用一个简单的数字表达出来呢?
在图中的区域(1)中,有 X>EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(2)中,有 X<EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0;
在图中的区域(3)中,有 X<EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(4)中,有 X>EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0。
当X 与Y 正相关时,它们的(联合)分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E(X-EX)(Y-EY)>0 。(可以从一维 x~N(μ,σ)的大部分的分布(-3σ-3σ)99.7%的区间取值来理解,当符合条件的X和Y区域都在这(1)(3)区间,X-EX和Y-EY的数值同大于0和小于0的居多,其乘积大于0(是一个三维立体型吧,会根据概率密度p(x)来决定该区域数值,),且其对应数值相乘(X-EX)(Y-EY)越大偏离越大)
当 X与 Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)<0 。
当 X与 Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布几乎一样多,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)=0 。
所以,我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是协方差
cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)。
当 cov(X, Y)>0时,表明 X与Y 正相关;
当 cov(X, Y)<0时,表明X与Y负相关;
当 cov(X, Y)=0时,表明X与Y不相关。
这就是协方差的意义。
另外补充:
1. 求特征协方差矩阵,如果数据是3维,那么协方差矩阵是
这里只有x和y,求解得
对角线上分别是x和y的方差,非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增,另一个也增;小于0表示一个增,一个减;协方差为0时,两者独立。协方差绝对值越大,两者对彼此的影响越大,反之越小。
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作者:goodshot
来源:CSDN
原文:https://blog.csdn.net/GoodShot/article/details/79940438
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