基于OpenGL的三种直线生成算法

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（一）数值微分(DDA)法

 

    设过端点P0(x0 y0)、P1(x1 y1)的直线段为L(P0 P1)，则直线段L的斜率   L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个象素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取象素点(x round(y))作为当前点的坐标。因为：

    yi+1 = kxi+1+b = k1xi+b+kDx = yi+kDx

    所以，当Dx =1; yi+1 = yi+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。

    根据这个原理，我们可以写出DDA画线算法程序。 void DrawLines::lineWithDDA(GLint x0, GLint y0, GLint xn, GLint yn, GLint hexColor) { GLfloat dx = xn - x0; GLfloat dy = yn - y0; GLint steps = 0; GLfloat deltaX = 0; GLfloat deltaY = 0; GLfloat x = x0; GLfloat y = y0; ofSetColor(hexColor); if(ABS(dx) > ABS(dy)) { steps = ABS(dx); } else { steps = ABS(dy); } deltaX = (GLfloat)dx / (GLfloat)steps; deltaY = (GLfloat)dy / (GLfloat)steps; glBegin(GL_POINTS); for(GLint i = 1; i <= steps; i ++) { x += deltaX; y += deltaY; glVertex2i(x, y); } glEnd(); }

（二）中点画线法

     假定直线斜率k在0~1之间，当前象素点为（x_p y_p），则下一个象素点有两种可选择点P₁（x_p+1 y_p）或P₂（x_p+1 y_p+1）。若P₁与P₂的中点（x_p+1 y_p+0.5）称为M，Q为理想直线与x=x_p+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P₂应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P₁为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。

     下面讨论中点画线法的实现。过点(x₀ y₀)、(x₁ y₁)的直线段L的方程式为F(x y)=ax+by+c=0，其中，a=y₀-y₁ b=x₁-x₀ c=x₀y₁-x₁y₀，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式:

     d=F(M)=F(x_p+1 y_p+0.5)=a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c

     当d<0时，M在L(Q点)下方，取P₂为下一个象素；

     当d>0时，M在L(Q点)上方，取P₁为下一个象素；

     当d=0时，选P₁或P₂均可，约定取P₁为下一个象素；

     注意到d是x_p y_p的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。

     若当前象素处于d³0情况，则取正右方象素P₁(x_p+1 y_p) 要判下一个象素位置，应计算 d₁=F(x_p+2 y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)=d+a，增量为a。若d<0时，则取右上方象素P₂(x_p+1 y_p+1)。要判断再下一象素，则要计算d₂= F(x_p+2 y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x₀ y₀)开始，d的初值 d₀=F(x₀+1 y₀+0.5)=F(x₀ y₀)+a+0.5b，因  F(x₀ y₀)=0，所以d₀=a+0.5b。

      由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。void DrawLines::lineWithMP(GLint x0, GLint y0, GLint xn, GLint yn, GLint hexColor) { GLint a = yn - y0; GLint b = -(xn - x0); GLint c = xn*y0 - x0*yn; GLint deltaA = 0; GLint deltaB = 0; if(0 != a) { deltaA = a / ABS(a); } if(0 != b) { deltaB = -1 * b / ABS(b); } GLfloat x = x0; GLfloat y = y0; ofSetColor(hexColor); if(ABS(a) < ABS(b)) { GLint steps = ABS(b); for(GLint i = 0; i < steps; i ++) { // 注意屏幕坐标系和世界坐标系的不同。也就是为什么是大于 0 if(0 < (a * (x + 1) + b * (y + 0.5) + c)) { y += 1 * deltaA; } x += 1 * deltaB; glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(x, y); glEnd(); } } else { GLint steps = ABS(a); for(GLint i = 0; i < steps; i ++) { if(0 <= (a * (x + 1) + b * (y + 0.5) + c)) { x += 1 * deltaB; } y += 1 * deltaA; glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(x, y); glEnd(); } } }

（三）Bresenham算法

      Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个象素点。

      算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。

     设直线方程为y_i+1=y_i+k(x_i+1-x_i)+k。假设列坐标象素已经确定为x_i，其行坐标为y_i。那么下一个象素的列坐标为x_i＋1，而行坐标要么为y_i，要么递增1为y_i＋1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d₀＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦  d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=x_i＋1交点最接近于当前象素(x_i，y_i)的右上方象素(x_i＋1，y_i＋1)；而当d<0.5时，更接近于右方象素(x_i＋1，y_i)。为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当e≥0时，取当前象素(x_i，y_i)的右上方象素(x_i＋1，y_i＋1)；而当e<0时，取(x_i，y_i)右方象素(x_i＋1，y_i)。

void DrawLines::lineWithBresenham(GLint x0, GLint y0, GLint xn, GLint yn, GLint hexColor) { GLint dx = xn - x0; GLint dy = yn - y0; GLint steps = 0; GLfloat slope = 0.0f; GLfloat x = x0; GLfloat y = y0; GLint deltaX = 0; GLint deltaY = 0; GLfloat e = -0.5f; if(0 != dx) { deltaX = dx / ABS(dx); slope = (GLfloat)dy / (GLfloat)dx; } else { slope = 65535; } if(0 != dy) { deltaY = dy / ABS(dy); } ofSetColor(hexColor); if(ABS(slope) <= 1) { steps = ABS(dx); glBegin(GL_POINTS); for(GLint i = 1; i <= steps; i ++) { x += deltaX; e += slope; if(0 < e) { y += deltaY; e -= slope / ABS(slope); } glVertex2i(x, y); } glEnd(); } else { steps = ABS(dy); slope = 1 / slope; glBegin(GL_POINTS); for(GLint i = 1; i <= steps; i ++) { y += deltaY; e += slope; if(0 > e) { x += deltaX; e -= slope / ABS(slope); } glVertex2i(x, y); } glEnd(); } }

 

  测试代码如下：

lineWithDDA(1, 500, 720, 500, 0xff0000); lineWithDDA(100, 550, 500, 50, 0xff0000); lineWithDDA(100, 150, 700, 550, 0xff0000); lineWithDDA(200, 20, 200, 680, 0xff0000); lineWithMP(1, 550, 720, 550, 0x0000ff); lineWithMP(100, 500, 500, 0, 0x0000ff); lineWithMP(100, 100, 700, 500, 0x0000ff); lineWithMP(250, 20, 250, 680, 0x0000ff); lineWithBresenham(1, 450, 720, 450, 0x00ff00); lineWithBresenham(100, 600, 500, 100, 0x00ff00); lineWithBresenham(100, 200, 700, 600, 0x00ff00); lineWithBresenham(150, 20, 150, 680, 0x00ff00);

 

结果视图如下：