欧拉函数随笔

  • 定义

　　在数论中，对正整数n，欧拉函数phi(n)是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。

  • 通式

　　phi(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn),其中，p1,p2...pn为n的质因数。

　　证明：

　　将n表示成素数的乘积形式： n=p1^k1*p2^k2...pn^kn,

　　可得，phi(n)=(p1^k1-p1^(k1-1))...*(pn^kn-pn^(kn-1))

　　next,phi(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)..(1-1/pn),其中，p1,p2..pn均为素数。

　　其中，当n=p^k时，1到n中p的倍数与n并不互素，这样的数有n/p个。

  • 性质(递推关系)(p为n的质因数)

　　若n%p==0 && (n/p)%p==0,则phi(n)=phi(n/p)*p;

　　若n%p==0 && (n/p)%p!=0,则phi(n)=phi(n/p)*(p-1);

  • 算法实现
  •  1 int p[MAXN],phi[MAXN];
 2 
 3 void solve(int N)
 4 {
 5     for(int i=1; i<=N; i++)
 6     {
 7         p[i] = 1; // 1 for prime number
 8         phi[i] = i;
 9     }
10 　　 p[1] = 0;
11     for(int i=1; i<=N; i++)
12     {
13         if(p[i])
14         {
15             for(int j=2*i; j<=N; j+=i)
16                 p[j] = 0;
17         }
18     }
19     for(int i=2; i<=N; i++)
20     {
21         if(p[i])
22             for(int j=i; j<=N; j+=i)
23                 phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
24     }
25 }

     

  •  应用

　　欧拉函数的主要应用是欧拉定理以及运用ploya定理时对指数循环节进行优化，有待补充。

 

　　　　

 

posted @ 2015-06-15 16:01  流浪集  阅读(130)  评论(0)  编辑  收藏  举报