如何理解最小二乘法？

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。
----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}$

之所以出现不同的值可能因为：

不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
......

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

$\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10$

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：

这样做有道理吗？
用调和平均数行不行？
用中位数行不行？
用几何平均数行不行？

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作 $y_i$ ：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 $y$ ：

每个点都向 $y$ 做垂线，垂线的长度就是 $|y-y_i|$ ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

$|y-y_i|\to (y-y_i)^2$

总的误差的平方就是：

$\epsilon=\sum (y-y_i)^2$

因为 $y$ 是猜测的，所以可以不断变换：

自然，总的误差 $\epsilon$ 也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的 $y$ 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“如何理解无偏估计？”）。

这就是最小二乘法，即：

$\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y$

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

$\begin{aligned} \frac{d}{dy}\epsilon &=\frac{d}{dy}\sum (y-y_i)^2=2\sum (y-y_i)\\ \quad\\ &=2((y-y_1)+(y-y_2)+(y-y_3)+(y-y_4)+(y-y_5))=0 \quad\\\end{aligned}$

进而：

$5y=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\implies y=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}$

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

$\epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y$

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销量\qquad\\\hline \color{red}{25^\circ}& 110 \\\hline \color{blue}{27^\circ}& 115 \\\hline \color{orange}{31^\circ}&155\\\hline \color{Goldenrod}{33^\circ}&160\\\hline \color{green}{35^\circ}&180\\\end{array}$

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

$f(x)=ax+b$

通过最小二乘法的思想：

上图的 $i,x,y$ 分别为：

$\begin{array}{c|c|c} \qquad i\qquad&\qquad x\qquad&\qquad y\qquad\\\hline 1&25& 110 \\\hline 2&27& 115 \\\hline 3&31&155\\\hline 4&33&160\\\hline 5&35&180\\\end{array}$

总误差的平方为：

$\epsilon=\sum (f(x_i)-y_i)^2=\sum (ax_i+b-y_i)^2$

不同的 $a,b$ 会导致不同的 $\epsilon$ ，根据多元微积分的知识，当：

$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial a}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)x_i=0\\ \quad\\ \frac{\partial}{\partial b}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)=0\end{cases}$