非线性方程的数值解法——二分法求解

问题

编写用二分法求在区间[1,1.5]内的一个根的程序，收敛误差不超过。在同一图形上分别画出的图形及每一中点对应的函数值，以观察收敛过程。

原理

设在区间[a,b]上连续，且，根据连续函数性质可知在[a,b]内一定有根，并称[a,b]为方程的有根区间。

令

如果 则 b=c 区间还是为[a,b]

如果 则a=c区间还是为[a,b]

其中每个区间是前一个区间的一半，二分次以后得有根区间[],其长度是

由此，如果二分过程无限地进行下去（），则有限区间根必定缩为一点，该点就是所求的根。在此过程我们一般都确定误差范围出结果。

在此题目中

程序框图

结果比较

				符号
0	1	1.5	1.25	-
1	1.2500	1.5	1.3750	+
2	1.2500	1.3750	1.3125	-
3	1.3125	1.3750	1.3438	+
4	1.3125	1.3438	1.3281	+
5	1.3125	1.3281	1.3203	-
6	1.3203	1.3281	1.3242	-
7	1.3242	1.3281	1.3262	+
8	1.3242	1.3262	1.3252	+
9	1.3242	1.3252	1.3247	-

计算得到

图1 放大后值

图2 近似值

结论

1. 在区间[1,1.5]内的一个根。

2. 收敛误差不超过时，根为=1.3247。

附件：程序

函数文件fun.m

function y=fun(x)

y=x.^3-x-1;

主文件main.m

x=1:0.001:1.5;

x=1:0.001:1.5;

a=1;

b=1.5;

plot(x,fun(x),'k')

grid

hold on

eps=0.5*10^(-3);

num=0;

N=50;

while(abs(a-b)>eps && num<N )

c=(a+b)./2

a

b

if(fun(a)*fun(c)<=0)

b=c;

else

if(fun(c)*fun(b)<=0)

a=c;

end

end

num=num+1

plot(c,fun(c),'r*')

fun(c)

text(c,fun(c),num2str(c))

end