树链剖分

合集 - 《算 法 与 数 据 结 构》(11)

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9.树链剖分2024-05-02

10.二分图匹配——从入门到入土2024-07-0411.《高 等 数 学》12024-07-20

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树链剖分，简称树剖，就是把一颗又大又高的树拆成一些链，方便使用某些数据结构。

一般树剖

我们随便 DFS 一下，将整棵树分成一些链，其中里面的 DFS 序连续。

链的数量不管怎样是固定的 $O(N)$。

hack：

某种 DFS 序是 $(1,3,2,5,4,7,6,9,8,11,10)$，只要你不走运刚好，就仍然可以把单次询问卡到 $O(N)$。

所以我们要把这坨东西优化一下。

重链优先

DFS 时优先用子树大小大的，剩下的随便。

链的数量没改进，但是单次询问的复杂度降低到 $O(\log N)$（因为只会有 $O(\log N)$ 个轻边）。

证明：

考虑从某个节点往根节点走，路上遇到的边全是轻边。

很显然往上面每多一个轻边节点数量就会多一倍。

然后你就可以用这种方式把树打成一条链然后在链上写东西了（说实话你可以把树打成链后在链上跑莫队，但是这既没有必要也不是很好）。

同时我们注意到这个玩意还满足普通 DFS 的性质，所以仍然支持子树修改/查询的操作。

这个玩意也可以求 $\mathrm{LCA}$：

1. 如果两个节点在同一个链里面，深度小的就是 $\mathrm{LCA}$。

2. 否则，第一个节点的链的顶端的深度大，将第一个节点跳至链的顶端的父亲，否则第二个节点跳至链的顶端的父亲，然后返回第一步。

既然能求 $\mathrm{LCA}$，那么也能处理链上修改/查询。

于是就有了下面这道题。

P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

一棵 $N$ 个节点的树，每一个节点有一个点权 $V_i$。

四个操作：

链上点的点权加一个数，

查询链上的点权和，

子树点权加一个数，

查询子树点权和。

直接把树打成一个链，然后链上随便写一个线段树维护。

很难写。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
int n, m, r, p, a, b, op, x, y, z;
int d[400040], t[400040], c[100010];
int fa[200020], dfn[200020], ss[200020], dep[200020], top[200020], hv[200020], dcnt, ed[200020];
vector<int> to[200020];
 
void pushdn(int x, int l, int r) {
  int mid = (l + r) >> 1;
  d[x * 2] += (mid - l + 1) * t[x];
  d[x * 2 + 1] += (r - mid) * t[x];
  t[x * 2] += t[x], t[x * 2 + 1] += t[x];
  t[x] = 0;
}
 
int query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
  if(r < ql || qr < l) {
    return 0;
  }
  if(ql <= l && r <= qr) {
    return d[x];
  }
  pushdn(x, l, r);
  int mid = (l + r) >> 1;
  return query(x * 2, l, mid, ql, qr) + query(x * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr);
}
 
void add(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
  if(r < ql || qr < l) {
    return ;
  }
  if(ql <= l && r <= qr) {
    d[x] += (r - l + 1) * v;
    t[x] += v;
    return ;
  }
  pushdn(x, l, r);
  int mid = (l + r) >> 1;
  add(x * 2, l, mid, ql, qr, v);
  add(x * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr, v);
  d[x] = d[x * 2] + d[x * 2 + 1];
}
 
void DFS(int x) {
  ss[x] = 1;
  dep[x] = dep[fa[x]] + 1;
  for(auto i : to[x]) {
    if(i != fa[x]) {
      fa[i] = x;
      DFS(i);
      ss[x] += ss[i];
      if(ss[i] > ss[hv[x]]) {
        hv[x] = i;
      }
    }
  }
}
 
void HCD(int x) {
  dfn[x] = ++dcnt;
  ed[x] = dfn[x];
  add(1, 1, n, dfn[x], dfn[x], c[x]);
  if(hv[x]) {
    top[hv[x]] = top[x];
    HCD(hv[x]);
    ed[x] = ed[hv[x]];
  }
  for(auto i : to[x]) {
    if(i != fa[x] && i != hv[x]) {
      top[i] = i;
      HCD(i);
      ed[x] = ed[i];
    }
  }
}
 
int LCA(int x, int y) {
  int ans = 0;
  for(; top[x] != top[y];) {
    if(dep[top[x]] > dep[top[y]]) {
      ans += query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x]);
      x = fa[top[x]];
    }else {
      ans += query(1, 1, n, dfn[top[y]], dfn[y]);
      y = fa[top[y]];
    }
  }
  if(dep[x] > dep[y]) {
    swap(x, y);
  }
  ans += query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]);
  cout << ans % p << '\n';
  return x;
}
 
int LCAc(int x, int y, int v) {
  for(; top[x] != top[y];) {
    if(dep[top[x]] > dep[top[y]]) {
      add(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x], v);
      x = fa[top[x]];
    }else {
      add(1, 1, n, dfn[top[y]], dfn[y], v);
      y = fa[top[y]];
    }
  }
  if(dep[x] > dep[y]) {
    swap(x, y);
  }
  add(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], v);
  return x;
}
 
signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> m >> r >> p;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> c[i];
  }
  for(int i = 1; i < n; i++) {
    cin >> a >> b;
    to[a].push_back(b);
    to[b].push_back(a);
  }
  DFS(r);
  top[1] = 1;
  HCD(r);
  for(; m--; ) {
    cin >> op;
    if(op == 1) {
      cin >> x >> y >> z;
      LCAc(x, y, z);
    }else {
      if(op == 2) {
        cin >> x >> y;
        LCA(x, y);
      }else {
        if(op == 3) {
          cin >> x >> y;
          add(1, 1, n, dfn[x], ed[x], y);
        }else {
          cin >> x;
          cout << query(1, 1, n, dfn[x], ed[x]) % p << '\n';
        }
      }
    }
  }
  return 0;
}