《高 等 数 学》1

合集 - 《算 法 与 数 据 结 构》(11)

1.字符串 hash2024-03-262.状压 dp2024-03-283.自动机模型＋字典树v2.02024-04-024.《小 学 组 合 数 学》2024-03-075.线段树v2.02024-04-026.连通性+ 12024-04-097.M-in-M2024-04-168.莫队-目录2024-04-259.树链剖分2024-05-0210.二分图匹配——从入门到入土2024-07-04

11.《高 等 数 学》12024-07-20

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一部分来源于 https://codeforces.com/blog/entry/118001，感谢 Proofy！

欧拉函数

定义 $\phi (x)=\sum _{i=1}^x[gcd(i,x)=1]$。

基础性质：

1. $\phi (p^k)=(p-1)p^{k-1}$，其中 $p$ 是质数，$k\ge 1$。

2. $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ 当 $gcd(a,b)=1$。

应用

欧拉函数的基础应用是求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}gcd(i,j)$（虽然这坨东西也有不同的推法，但都要应用到欧拉函数）。

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}gcd(i,j)$$

$$=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=k]$$

$$=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }[gcd(i,j)=1]$$

$$=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\phi (i)$$

然后你暴力就可以做掉 $n\le {10}^6(O(n\log n))$，加个前缀和就可以做掉 $n\le {10}^7(O(n))$。

注意到推这个的同时我们还推出了 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n[gcd(i,j)=k]$ 的快速解法。

为啥 $\sum _{i=1}^n\frac{n}{i}=O(n\log n)$

$$\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\cdots +\frac{n}{n}$$

$$=n(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})$$

考虑 ${\displaystyle \frac{1}{1}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots$，可以放大成 ${\displaystyle \frac{1}{1}}+2{\displaystyle \frac{1}{2}}+4{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots$，所以 ${\displaystyle \frac{1}{1}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}=O(\log n)$。

乘以 $n$ 就是 $O(n\log n)$。

整除分块

Lemma 1：$\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor$ 至多有 $O(\sqrt{n})$ 个值。

证明：对于 $i\ge \sqrt{n}$，$\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor$ 至多有 $\sqrt{n}$ 个值，再加上 $i<\sqrt{n}$，总共 $O(\sqrt{n})$。

Lemma 2：设 $l$ 是最小的 $x$ 满足 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor =c$，$r$ 是最大的 $x$ 满足 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor =c$，则 $r=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$。

然后你就可以用这两个 Lemma 去写题了。

exgcd

假设 $a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b),b{x}_2+(amodb)y_2=gcd(b,amodb)$

显然有 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(amodb)y_2$。

变换一下，有 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-b\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor )y_2$

$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+a{y}_2-b\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y_2$

$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y_2)$

得到 $x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor y_2$。

然后你就可以用这个玩意求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解了。