连通性+ 1

合集 - 《算 法 与 数 据 结 构》(11)

1.字符串 hash2024-03-262.状压 dp2024-03-283.自动机模型＋字典树v2.02024-04-024.《小 学 组 合 数 学》2024-03-075.线段树v2.02024-04-02

6.连通性+ 12024-04-09

7.M-in-M2024-04-168.莫队-目录2024-04-259.树链剖分2024-05-0210.二分图匹配——从入门到入土2024-07-0411.《高 等 数 学》12024-07-20

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早在普及组的时候，我们就学会了：

• DFS（BFS）搜连通块

• 并查集在加边的情况下动态维护连通块（支持离线处理删边）

现在，我问你：

• 我删去一个点/边，判断剩下的图存在原本某两个连通的点现在不连通？

• 我随机删去一条边，判断剩下的图中某两个点是否一定连通？

• 我随机给你一些点，判断其中两两是否互相可达（有向图上）？

第三个问题不是今天这篇文章所讲的范畴，但是其他问题确实可以讲一讲。

我删去一个点/边，判断剩下的图存在原本某两个连通的点现在不连通？

点

形式化定义：有 $G=(V,E),d\in V$，判断：

$\mathrm{\exists }x,y,x\ne d\wedge y\ne d\wedge (\mathrm{\exists }v=(v_1,v_2,\cdots ,v_k),v_1=x\wedge v_k=y\wedge (\mathrm{\forall }1\le i<k,(v_i,v_{i+1})\in E))\wedge (\nexists v=(v_1,v_2,\cdots ,v_k),v_1=x\wedge v_k=y\wedge (\mathrm{\forall }1\le i<k,(v_i,v_{i+1})\in E)\wedge (\mathrm{\forall }1\le i\le k,v_i\ne d))$，如果成立则称 $d$ 为割点。

这个问题可以使用 Tarjan 求解。

Tarjan（谐音太监，虽然其正确中文名为塔杨）通过两个数组来求解：$df{n}_i$ 表示 $i$ 的 DFS 序，$lo{w}_i$ 表示在不经过 $i$ 在 DFS 树上的父亲所能走到的 $dfn$ 最小的节点。

如果对于 $u$ 有一个 $u$ 的儿子 $v$ 满足 $lo{w}_v\ge df{n}_u$，也就是不能回到祖先，那么就可以确定 $u$ 是割点了...吗？

根节点的每一个儿子必然满足条件，所以我们要特判：

根是割点当且仅当根在树上有至少两个儿子。

伪代码：

function() Tarjan(x, fa, rt) does
  (int)c(0)
  dfn[x] = low[x] = ++cnt, vis[x] = 1
  for(each i \in adj[x]) does
    when(!vis[i]) then
      c++
      Tarjan(i, x, rt)
      low[x] sets(\min) low[i]
      when(x \ne rt \and low[i] \ge dfn[x]) then
        satis[x] = 1
      back on track
    and when(i \ne fa) then
      low[x] sets(\min) dfn[i]
    back on track
  back on track
  when(x \eq rt \and c \gt 1) then
    satis[x] = 1
  back on track
back on track

边

形式化定义：有 $G=(V,E),d\in E$，判断：

$\mathrm{\exists }x,y,(\mathrm{\exists }v=(v_1,v_2,\cdots ,v_k),v_1=x\wedge v_k=y\wedge (\mathrm{\forall }1\le i<k,(v_i,v_{i+1})\in E))\wedge (\nexists v=(v_1,v_2,\cdots ,v_k),v_1=x\wedge v_k=y\wedge (\mathrm{\forall }1\le i<k,(v_i,v_{i+1})\in E\mathrm{\setminus }\{d\}))$

跟点的情况很像，具体看伪代码：

function() Tarjan(x, fa) does
  dfn[x] = low[x] = ++cnt, vis[x] = 1
  for(each i \in adj[x]) does
    when(!vis[i]) then
      Tarjan(i, x, rt)
      low[x] sets(\min) low[i]
      (note)(没有根的特殊情况)
      when(low[i] \ge dfn[x]) then
        satis[i] = 1 (note)(实际上是孩子)
      back on track
    and when(i \ne fa) then
      low[x] sets(\min) dfn[i]
    back on track
  back on track
  (note)(没有根的特殊情况)
back on track

我随机删去一条边，判断剩下的图中某两个点是否一定连通？

很简单：

按照上面的方式处理出桥，断掉桥，条件满足当且仅当之后的图中两个点仍然连通。

附录：Tarjan 模板

function() Tarjan(x, fa) does
  dfn[x] = low[x] = ++cnt, vis[x] = 1
  for(each i \in adj[x]) does
    when(!vis[i]) then
      Tarjan(i, x)
      low[x] sets(\min) low[i]
    and when(i \ne fa) then
      low[x] sets(\min) dfn[i]
    back on track
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