线段树

前言

线段树只会保留重要的、具有“代表性”的区间，来优化区间查询。

但是，用线段树查询的区间信息，必须具有结合律...

简介

下图（有点儿粗糙，请不要介意）：

黑数字代表编号，红色的区间代表节点管辖的区间，至于绿色和黄色的 X　会在后面讲。

建树

Lemma 1：线段树至多有 $O(\log N)$ 层

我们从最下面开始看。

每往上一层，区间的数量大约会减半（实际上向下取整），要把节点数量减半到 \(1\)，也就需要 \(O(\log N)\) 层。

在最坏情况下，每一层都会维护整个数组。所以直接对于整个数组暴力的复杂度也会是 \(O(N \log N)\) 的。

但是，我们知道，线段树的核心，是拼，是凑啊！

Lemma 2：线段树有 $O(N)$ 个节点

每一个节点的作用其实就是把两个区间合并成一个，所以叶子节点有 \(N\) 个，非叶子节点有 \(N - 1\) 个，总共 \(2N - 1\) 个，也就是 \(O(N)\)。

所以，对于叶节点，我们直接把信息传上来；对于非叶子节点，我们用其两个儿子节点的信息合并。

区间查询

Lemma 3：对于一个区间，每层至多有 $2$ 个节点所管辖的区间是这个区间的子区间，并且这个节点的父亲的区间不是这个区间的子区间（这是“终止节点”的定义）。

Lemma 3.1：对于一个终止节点，它的左/右边至少有一边的终止节点的深度比它低

反证。

如果两边的终止节点都比它高，那就违反了线段树的“二叉”的结构（无法解释这个终止节点到底“在哪儿”）。

证明了 Lemma 3.1 之后，就非常简单了：

还是反证。

如果有某一层有 \(3\) 个或更多终止节点，有两种情况：

• 有两个终止节点相邻，这违反了终止节点的定义；

• 没有两个终止节点相邻，这违反了 Lemma 3.1。

那怎么找终止节点？

直接搜索，搜到一个终止节点就返回。