线段树v2.0

合集 - 《算 法 与 数 据 结 构》(11)

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5.线段树v2.02024-04-02

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前言

线段树，万金油数据结构。

线段树只会保留重要的、具有“代表性”的区间，来优化区间查询。

简介

下图（有点儿粗糙，请不要介意）：

黑数字代表编号，红色的区间代表节点管辖的区间，至于绿色和黄色的 X 会在后面讲。

建树

Lemma 1：线段树至多有 $O(\log N)$ 层

我们从最下面开始看。

每往上一层，区间的数量大约会减半（实际上向下取整），要把节点数量减半到 $1$，也就需要 $O(\log N)$ 层。

在最坏情况下，每一层都会维护整个数组。所以直接对于整个数组暴力的复杂度也会是 $O(N\log N)$ 的。

但是，我们知道，线段树的核心，是拼，是凑啊！

Lemma 2：线段树有 $O(N)$ 个节点

每一个节点的作用其实就是把两个区间合并成一个，所以叶子节点有 $N$ 个，非叶子节点有 $N-1$ 个，总共 $2N-1$ 个，也就是 $O(N)$。

所以，对于叶节点，我们直接把信息传上来；对于非叶子节点，我们用其两个儿子节点的信息合并。

区间查询

Lemma 3：对于一个区间，每层至多有 $2$ 个节点所管辖的区间是这个区间的子区间，并且这个节点的父亲的区间不是这个区间的子区间（这是“终止节点”的定义）。

Lemma 3.1：对于一个终止节点，它的左/右边至少有一边的终止节点的深度比它低

反证。

如果两边的终止节点都比它高，那就违反了线段树的“二叉”的结构（无法解释这个终止节点到底“在哪儿”）。

证明了 Lemma 3.1 之后，就非常简单了：

还是反证。

如果有某一层有 $3$ 个或更多终止节点，有两种情况：

• 有两个终止节点相邻，这违反了终止节点的定义；

• 没有两个终止节点相邻，这违反了 Lemma 3.1。

那怎么找终止节点？

直接搜索，搜到一个终止节点就返回。

区间修改

还记得前面提到的黄色 X 和绿色 X 吗（好像说反了）？这两个 X 就是实现快速区间修改的关键。

懒标记

仍然拿 $[2,6]$ 举例子，我们先停至 $9\to [2,2]$，将这个节点的信息更新；

然后，当我们访问到 $5\to [3,4]$ 时，我们终止，然后修改绿 X。

如此往复，不要忘记更新信息。

当我们查询 $[3,3]$：

往下搜到 $5\to [3,4]$ 的时候，重头戏来了：

我们下传 $5\to [3,4]$ 的懒标记，更新 $10\to [3,3]$ 和 $11\to [4,4]$ 的信息。

然后就可以安全的访问 $10\to [3,3]$ 而不会出现错误的信息了。

永久标记

永久标记就是上面的黄 X，当我们访问到一个结点的时候我们不下传标记，而是把这个标记的贡献直接加进去。

注意修改时仍然要更新信息。

你可以把两种标记这样理解：

• 懒标记像是一个上司，他会在领导视察的时候清理账单，还清工资；

• 永久标记像是一个上司，但是他不会还清工资，而是伪造账单。

线段树分治

其实线段树分治的思想很简单，就是把某一个信息的所在区间当作一次区间修改，用永久标记的方式加入一棵在时间轴上建立的线段树。

当要回答某些时间点的信息的时候，我们一次性处理：

在线段树上 DFS，遇到了新信息就加入贡献，当回溯的时候撤销贡献。

就这么简单。

但由于贡献需要撤销，所以可能得使用可持久化数据结构。

可持久化线段树

好，现在我要保存线段树的历史版本。

所以我们需要可持久化线段树。

可持久化线段树只支持单点修改，但是仍然支持区间查询。

使用最经典的 Path Copying 思想，我们把修改的节点复制一份出来，然后就可以达到可持久化的目的了。

线段树能塞的各种奇奇怪怪的东西

线段树里面塞矩阵...还是 dp 矩阵

这个法子有个别名叫“动态 dp”。