跳台阶问题分析

问题描述：

         一个台阶，一次可以跳3级或者5级，跳到第n级有多少种跳法。

问题分析：

         刚开始的思路是，每次跳3级或者5级，不一定能跳到第n级，要求n是3的倍数，或者是5的倍数，或者是3i和5j的和（i>=0,j>=0）。所以考虑三种情况：

1、  n是3的倍数；

2、  n是5的倍数；

3、  3i+5j=n(i>=0且j>=0)。其他情况则是不可到达第n级。

情况1和情况2很容易，直接求倍数就可以。情况3考虑的是两层for循环，使用蛮力法找到满足条件的i和j的值。后来发现，情况1和情况2不需要在算法中写具体实现，不满足情况1和情况2，不可到达第n级，则跳法为0。

　　另一种是递归。递归要满足两个条件：1、存在相同的情景，可以重复调用；2、存在最终的结束条件。

　　最终的结束条件很容易想到，那就是最后只剩下3级台阶或者5级台阶的情况，一次可以跳完，只有一种跳法。相同的情景可以这么考虑，开始跳之前，还剩下n级台阶没有跳过，跳过一次后，比如跳3级或者5级，则剩下n-3或者n-5，再开始第二次跳，发现第二次跳和第一次跳面临的选择是相同的，也是跳3级或者5级，只是要跳的台阶数减少了3级或者5级。那么每次的跳是相同的情景，可以重复调用。如果用函数jumpCount(n)计算跳法的话，n级台阶的跳法即是jumpCount(n)，按照递归的思路，如果第一次跳3级的话，则剩下n-3，再跳这n-3级台阶，这n-3级台阶的跳法是jumpCount(n-3)。同理，如果第一次跳5级的话，则剩下n-5级的跳法是jumpCount(n-5)；以此递推，每次都是在剩下的台阶数中跳3级或者5级，剩下n-3或者n-5，再重复跳，一直到最后只剩下3级或者5级。那么n级台阶的跳法是jumpCount(n)= jumpCount(n-3)+ jumpCount(n-5)。其实这里发现和第一种思路的第3中情况是类似的。

         这里当时有个思想误区，首先确实是考虑到了将剩下的台阶数作为下次跳跃的总数，每次跳跃进行递归的调用。但是受第一种思路的影响，每次都在考虑n-3i或者n-5j的情况，没有想到递归的核心思想是整体与局部的思想，问题分大的模块来看待，每个小模块再一步一步细分。每个大模块和小模块是相似的关系。每个小模块只需要考虑一步，不需要考虑整体情况，所以不需要考虑i和j了。

问题验证：

蛮力法代码：

    /**
     * 思路一：非递归，蛮力法找到满足条件的值
     * @param n 待跳的台阶数
     * @return 跳法
     */
    public static int jumpCount1(int n) {
        int count = 0;//跳法
        //i最大不能超过n的约数，同理j
        for (int i = 0; i <= n / 3; i++) {
            for (int j = 0; j <= n / 5; j++) {
                if (3 * i + 5 * j == n) {
                    count++;//满足条件，则找到了一种跳法
                }
            }
        }

        return count;
    }

递归代码：

    /**
     * 思路二：递归
     * @param n 待跳的台阶数。每次跳3级或者5级
     * @return 跳法
     */
    public static int jumpCount(int n) {
        if (n < 3) {
            return 0;//如果小于3，则跳不了
        }

        if (n == 3 || n == 5) {
            return 1;//只剩下3级或者5级，则只有一种跳法，跳3级或者5级，一次跳完
        }

        return jumpCount(n - 3) + jumpCount(n - 5);//每次跳跃，剩下为n-3或者n-5，作为下次待跳跃的台阶数
    }

蛮力法时间复杂度为O(n^2)，递归为O(n)，递归时间复杂度优于蛮力法。递归算法明显优于蛮力法，简介清晰，但是数据量大的情况下运行效率较低，内存开销大。

总结：

1、  蛮力法很容易想到，思想误区是要跳出判断是否能跳到第n级台阶的情况，这种情况跳法就是0，不需要代码中判断。

2、  递归法要牢牢抓住递归的思想，考虑整体就不要管部分，考虑部分就不要管整体。

 

更正

经其他博友提示，蛮力法有问题。

蛮力法只找到了跳完n级台阶，需要跳3级多少次，跳5级多少次，满足n级台阶则算一次。比如说8级台阶，需要跳3级台阶1次，5级台阶1次。但是实际上有两种跳法：1、先跳3级，再跳5级。2、先跳5级，再跳3级。有两种，但是按照蛮力法只有一次，蛮力法应该算组合。

算得跳3级i次，跳5级j次，则总共需要跳i+j次，i+j次中，3级台阶有多少种可能，剩下的就是5级台阶，每种可能就是一种跳法（或者算5级台阶有多少种可能）。其实就是i+j中的i组合。

C_i+jⁱ

  public static int jumpCount1(int n) {
    int count = 0;// 跳法
    // i最大不能超过n的约数，同理j
    for (int i = 0; i <= n / 3; i++) {
      for (int j = 0; j <= n / 5; j++) {
        if (3 * i + 5 * j == n) {
          // count++;// 满足条件，则找到了一种跳法
          count = count + C(i, i + j);//i+j次跳跃中，跳3级台阶的可能次数，每次算一种跳法（找到了3的位置，则剩下为5的位置。或者找跳5级的位置也可以）
        }
      }
    }

    return count;
  }

  // 求排列数
  private static int A(int up, int bellow) {
    int result = 1;
    for (int i = up; i > 0; i--) {
      result *= bellow;
      bellow--;
    }
    return result;
  }

  // 求组合数
  private static int C(int up, int below) {
    // 分母
    int denominator = A(up, up);// A(6,6)就是求6*5*4*3*2*1,也就是求6的阶乘
    // 分子
    int numerator = A(up, below);// 分子的排列数

    return numerator / denominator;
  }

感谢博友的指正！