在CPLEX中求解最短路径问题

        最短路径问题顾名思义，即求问题的最短路。
        如有以下问题，图中有1-5五个结点，求node1到node4的最短路径。答案非常明显，即1->2->4.

        表示各个结点之间的路径需要一个二元矩阵。假设\(t_{i,j}\)为路径值，\(x_{i,j}\)用以表示是否选择node i到node j的路径，取值为0或1.
        首先求解的目标函数是使得路径上的数字和最小，即目标函数z为：

\[min z = \sum_{i,j}t_{i,j}*x_{i,j} \]

        为了保证每一步的每个结点（除了起点和终点）都只有一个进路和一个出路，需要以下三个约束条件：
\(s.t.\hspace{1cm}\) $$\sum_{j} x_{o,j} = 1$$

\[\sum_{i}x_{i,d} = 1 \]

\[\sum_{i}x_{i,j} = \sum_{k}x_{j,k} ({\forall}j{\neq}o,d) \]

\[x_{i,j} = 0,1 \]

        其中o为起点，d为终点。第一条限制了起点只有一个，第二条限制了终点只有一个，而第三条对其他结点做出了限制。确保i->j,j->k都只有一条线路，即中间结点j只有一条进路一条出路。
        先创建一个Excel表格，命名为traveltime，用于存放结点路劲的二元矩阵，放入cplex模型的文件夹中，无路径的值设置为一个较大的值：

        CPLEX中.mod代码如下：

range I=1..5;
int t[I][I]=...;
dvar boolean x[I][I];

constraint originNodeBalance;
constraint destinationNodeBalance;
constraint otherNodeBalance;

minimize sum(i in I,j in I) t[i][j]*x[i][j];

subject to
{
	originNodeBalance=sum(j in I) x[1][j]==1;
    destinationNodeBalance=sum(i in I) x[i][4]==1;
	otherNodeBalance=forall(j in I:j!=1&&j!=4) sum(i in I) x[i][j]-sum(k in I) x[j][k]==0;
}

        CPLEX中.dat代码如下：

SheetConnection sheet("traveltime.xlsx");
t from SheetRead(sheet,"Sheet1! B2:F6");

        这样CPLEX中的模型就建好了，看看运行结果：

        结果中的最短路径为1->2->4，和肉眼判断的结果一致。