2019.08.06模拟赛T2

题目大意:

已知三个$n$位二进制数$A$,$B$,$C$.

满足:

$A+B=C$

它们二进制位中$1$的个数分别为$a$,$b$,$c$.

求满足条件的最小的$C$.

 

Solution

唉，又是一道随缘猜结论的题，可惜极限数据卡掉了我一个点，开大数组就A了.....

通过$n \leq 10$的打表，我们发现所有的最优解中都有一种情况是$A$的二进制位的$1$是连续一段。

事实上，真的就是这样的！

设$t=a+b-c$，显然，$t$表示加法过程中进位的次数。

我们设$A$的$a$个$1$是连续的，然后在$B$中添加$b$个$1$，使得其刚好进位了$t$次(这里$a$个一后面可能有后导$0$)。

然后要分两种情况讨论。

 

$1.a\geq t$

$A:00001111\cdots11$

那么$B$在填$1$的时候，就不能填在$A$中最后一个$1$的位置，因为那样进位次数就会超过$t$.

所以第一个$1$应该填在这里，且$B$的前面也只能是$0$，否则相加时还会继续进位：

$A:0000\underbrace{111\cdots1}_{t}1111\cdots$

$B:$      $0$            $10000\cdots$

那么，剩下的那些$1$,就可以填在中间的位置，直到填满为止，这样就保证了$C$的尽量小。

如果中间还没填满，那就可以完事了。

接着考虑中间填满的情况，而且$B$中还有$1$没填：

$A:0000\underbrace{11111\cdots1}_{t}1111\cdots$

$B:$       $011111\cdots10000\cdots$

这里$B$还有两种可以填的地方，前面或后面。

 事实上，通过推一推式子，我们发现剩下的$1$放在$B$的后面，然后$A$的后面补$0$才可以使$C$最小。

具体来说，就是设$x$为$B$中放后面的$1$的个数，然后求出$C$关于$x$的函数$f(x)$，然后发现$x$越大，$C$就越小，因此应该剩下的$1$全放在后面。

举个例子，$a=4,b=4,c=6,t=2$，构造出来应该是这样的：

$A:0111100$

$B:0110011$

$C:1101111$

 

$2.a<t$

这时为了使进位次数刚好为$t$次，所以$B$的首个$1$应填在$A$中最后一个$1$的位置。

然后为凑齐$t$次，还得在前面补$1$，像这样：

$A:000\cdots011111\cdots11$

$B:0000111\cdots000\cdots1$

接下来的话同理，$B$中剩下的$1$先填在中间的空位，若未填满则结束，否则$1$放在后面，同时$A$在后面补$0$。

当然，代码就很好写(毒瘤)了：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int n,a,b,c,t,ans[N],A[N],B[N];
void solve()
{
    if(t>a)
    {
        if(t>=b)
        {
            for(int i = 1;i<=a;i++)A[i] = 1;
            for(int i = 1;i<=c;i++)B[i] = 1;
            for(int i = a+1;i<=t;i++)B[i] = 1;
        }else
        {
            for(int i = 1;i<=b;i++)B[i] = 1;
            for(int i = b-t+1;i<=c;i++)A[i] = 1;
        }
    }else
    {
        if(t>=b)
        {
            for(int i = 1;i<=a;i++)A[i] = 1;
            for(int i = a-t+1;i<=c;i++)B[i] = 1;
        }else
        {
            int x = b-t;
            for(int i = x+1;i<=c;i++)A[i] = 1;
            for(int i = 1;i<=x;i++)B[i] = 1;
            for(int i= c-t+1;i<=c;i++)B[i] = 1;
        }
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        ans[i]+=A[i]+B[i];
        if(ans[i]>1)ans[i]-=2,ans[i+1]++;
    }if(ans[n+1])puts("-1"),exit(0);
    for(int i = n;i>=1;i--)printf("%d",ans[i]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
    t = a+b-c;
    solve();
    return 0;
}