对快速排序的分析 Quick Sort
快速排序
快排的基本思想是：通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。通常可选第一个记录为基准来重新排列其余记录，另外它需要一个栈空间来实现递归。
通常用第一个记录作为基准的时候
最好情况：每次基准归位，刚好落在序列的中间，将序列均匀的划分为长度相等或相近的两个子序列。栈空间最大深度为log(n+1)，1表示最外层参数进栈
时间复杂度：n·log(n)
空间复杂度：log(n)
最坏情况：初始序列已经有序或基本有序时，每趟排序之后基准落在子序列的一端，则为最坏情况。栈空间最大深度为n
时间复杂度：n^2
空间复杂度：n
数据量大且有序时，使用第一个记录为基准排序会很慢，在leetcode 215题中就体现出来了，因此需要用下面方法对最坏情况进行改进
改善基准的选取
1，随机选基准
随机选择基准可以提升最坏情况下的性能，但是在随机选择时也有最坏情况，即每次都选择了有序序列的一端，最坏时间复杂度也是O（N^2），但整体还是比上述以第一个为基准要好。
2，三者取中（a[0]，a[-1]，a[len(a)//2]）
《严 · 数据结构》上推荐使用三者取中，可大大改善快速排序在最坏情况下的性能。
（3，BFPRT是不是也能优化快排的基准选择，如果用了BFPRT，基准每次都划分在序列中间位置，这样总的快排时间复杂度就是优化前的复杂度n·log(n)，就不存在最坏O(N^2)的情况。）
改善快排的递归过程
以基准划分序列时，用两个boolean变量标记两指针向中间移动过程中是否进行过交换，若有哪一部分没有进行交换，则无需对这部分进行递归，进而提升了性能。
代码实现
import random
def partition(nums, left, right, base):
'''基准归位'''
if left == right:
return
temp = nums[base]
nums[base], nums[right] = nums[right], nums[base] # 和尾部节点交换
max_index = left
for i in range(left, right):
if nums[i] < temp:
nums[i], nums[max_index] = nums[max_index], nums[i]
max_index += 1
nums[max_index], nums[right] = nums[right], nums[max_index]
return max_index
def quick_sort(nums, left, right):
'''快速排序'''
if left >= right:
return
base = random.randint(left, right) # 随机选取基准
base_index = partition(nums, left, right, base)
quick_sort(nums, left, base_index-1) # 递归左边
quick_sort(nums, base_index+1, right) # 递归右边
if __name__ == '__main__':
nums = [6, 1, 8, 8, 8, 2, 7, 9, 3, 8, 8, 4, 5, 10]
left, right = 0, len(nums) - 1
quick_sort(nums, left, right)
print(nums)
快速选择
和快排partition过程一致，分治过程只操作有用的一半，另一半不管。
时间复杂度：n, 最差n^2。（由于证明过程很繁琐，所以不在这里展开讲。具体证明可以参考《算法导论》第 9 章第 2 小节。最差就是快排最差情况。）
空间复杂度：log(n)，最差n
import random
def partition(nums, left, right, base):
'''基准归位'''
if left == right:
return
temp = nums[base]
nums[base], nums[right] = nums[right], nums[base] # 和尾部节点交换
max_index = left
for i in range(left, right):
if nums[i] < temp:
nums[i], nums[max_index] = nums[max_index], nums[i]
max_index += 1
nums[max_index], nums[right] = nums[right], nums[max_index]
return max_index
def quick_select(nums, left, right, K):
'''快速选择'''
if left == right: # 分治的序列仅剩一个元素，那么就是它了
return nums[left]
base = random.randint(left, right) # 随机选取基准
base_index = partition(nums, left, right, base)
if base_index == K:
return nums[base_index]
elif base_index > K:
return quick_select(nums, left, base_index-1, K) # 递归左边
else:
return quick_select(nums, base_index+1, right, K) # 递归右边
if __name__ == '__main__':
nums = [6, 1, 8, 8, 8, 2, 7, 9, 3, 8, 8, 4, 5, 10]
nums = list(set(nums))
print(nums)
left, right = 0, len(nums) - 1
K = 2 # 第K大
ans = quick_select(nums, left, right, right-K+1) # 等于N-K+1小，10-2+1=9
print(ans)
