AtCoder Grand Contest 043B（组合数学）

先进行一次绝对值差分，把序列中的数都变成 0，1，2 。如果序列中存在 1，答案只能是 0 或 1；如果不存在 1，答案只能是 0 或 2。对于不存在 1 的情况，我们可以将每个数都 除以2，最后再将答案 乘2，这显然是等价的。于是现在答案只能是 0 或 1 ，发现绝对值差分等价于异或。现在问题转化为一个 只包含0和1的序列，每次将相邻两个数异或，求最后剩下的数。那么考虑每个数会被异或几次即可，设序列长度为 n，则位置 i 上的数会被异或 (n−1，i−1) 次。这时候我们还要求出模 2 意义下的组合数，一个简单的方法是计算每个阶乘的分解中 2 的次数，将计算组合数时的除法改为做减法。则对于一个组合数，最后如果剩下的 2 的次数为 0，则说明 mod2=1，否则 mod2=0。对于阶乘的分解，可以先对每个数简单地求出分解中 2 的次数，然后做前缀和即可。时间复杂度 O(n)。

 

#define HAVE_STRUCT_TIMESPEC
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000007],c[1000007];
char s[1000007];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    int n;
    cin>>n;
    cin>>s+1;
    --n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=abs(s[i]-s[i+1]);
    int flag=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(a[i]==1)
            flag=1;
    if(!flag)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            a[i]>>=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=i;
        while(!(x&1))
            ++c[i],x>>=1;
        c[i]+=c[i-1];
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans^=c[n-1]-c[i-1]-c[n-i]?0:(a[i]&1);
    if(!flag)
        ans<<=1;
    cout<<ans;
    return 0;
}