使用 Lambda 表达式编写递归五：推导装配脑袋的 Fix

《Print Gallery》      作者：埃舍尔

本系列文章目录：

• 一：前言及基础
• 二：推断 FIX、g 的类型
• 三：实现 Y 组合子
• 四：实现 Θ 组合子
• 五：推导装配脑袋的 Fix

 

上一篇文章 最后提到， 装配脑袋 给出的 Fix 函数精简到极致：

1 2 3

static Func<int, long> Fix(Func<Func<int, long>, Func<int, long>> f) { return x => f(Fix(f))(x); }

下面我们看下是怎么推导出的，从 λ 演算入手：

λ 演算

根据 β-归约 存在以下等式：

1	(λx.x(fix x)) f = f(fix f)

根据 不动点组合子 的定义：

1	f(fix f) = fix f

由以上两个等式得出：

1	(λx.x(fix x)) f = fix f

左右互换下：

1	fix f = (λx.x(fix x)) f

根据 c a == d a 时 c == d，得出：

1	fix = λx.x(fix x)

将 x(fix x) η-展开为 λn.x(fix x)n：

1	fix = λx.λn.x(fix x)n

再变换一步：

1	fix = λx.λn.x(fix(x))(n)

转为 c# 代码

Fix 是不动点算子，根据前文的假定和推断它的类型是：Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>。（基于输入是 int，返回值是 long 的假定）

借助 前言及基础一文中总结出的小规律，可以写出：

1	Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> fix = x(fix(x))(n)

当然这个是编译不通过的，让我们把它改造成一个方法：

1 2 3

static Func<int, long> fix(Func<Func<int, long>, Func<int, long>> x) { return n => x(fix(x))(n); }

将 int 改为 T、long 改为 TResult，抽象为泛型通用版本：

1 2 3

static Func<T, TResult> Fix<T, TResult>(Func<Func<T, TResult>, Func<T, TResult>> x) { return n => x(Fix(x))(n); }

和 装配脑袋 的对比下，一样吧？好像参数名不同，没关系，把参数 x 更改为 f：

1 2 3

static Func<T, TResult> Fix<T, TResult>(Func<Func<T, TResult>, Func<T, TResult>> f) { return n => f(Fix(f))(n); }

再比对下吧，一样了吧！（如果还是看不出来的话，把 n 更改 x 试试）

后记

其实呢，我是反推出来的，先从 装配脑袋 的 Fix 得出：

1	fix = λx.λn.x(fix(x))(n)

然后运用 η-变换：λn.x(fix(x))(n) 简化为 x(fix(x))：

1	fix = λx.x(fix(x))

两侧应用 f：

1	fix f = (λx.x(fix(x))) f

运用 β-归约 ：

1	fix f = f(fix(f))

调整下：

1	fix(f) = f(fix(f))

正是不定点算子的定义。

把这个过程序反过来，就是本文 λ 演算 部分的内容。（如果用五个字评价我的这篇文章就是：事后诸葛亮。）

至于 装配脑袋 怎么推出的这个 FIX，我就无从得知了。