使用 Lambda 表达式编写递归二：推断 FIX、g 的类型

《Stars》      作者：埃舍尔

本系列文章目录：

• 一：前言及基础
• 二：推断 FIX、g 的类型
• 三：实现 Y 组合子
• 四：实现 Θ 组合子
• 五：推导装配脑袋的 Fix

 

上一篇文章介绍的 λ 演算是无类型的，对于 FIX、g 我们只知道：它们都是有独个参数的函数，它们的参数本身也是一个只有单一参数的函数；同时，它们值是又一个只有单一参数的函数。

基于这种描述，是无法将 FIX、g 转化为 c# 代码的，我们需要推断出 FIX、g 类型。

我们先做一些假定，基于假定进行推导，得出结论再抽象为通用类型。

递归参数及返回值类型假定

对于常见的递归函数，如：阶乘、斐波那契数列求值，我们先作如下假定：

1. 参数为 int 类型（Int32）；
2. 返回值为 long 类型（Int64）。

基于假推断各类型

FIX g 类型

根据上篇文章中的描述：

1 2	FIX g = λn. (ISZERO n) 1 (MULT n ((FIX g) (PRED n))) FIX g 5 = 5 * (4 * (3 * (2 * (1 * 1))) = 120

FIX g 返回的是我们需要的递归函数，这个递归函数

• 接收一个 int 参数（上面假定第 1 条）值为 5
• 返回一个 long 型数值（上面假定第 2 条）120。

因此，确定出 FIX g 的类型可表示为 Func<int, long>。

同时也能看出 n 是递归函数的参数，n 类型为 int。

g 类型

阶乘单步函数如下：

1	g = λf. λn. (ISZERO n) 1 (MULT n (f (PRED n)))

c# 中可表达为：g => f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1)

先来推断 f 的类型：

• f 的参数：f 接收 n – 1 作为参数，因此，f 参数的类型和 n – 1 类型相同，即 n 的类型：int；
• f 的返回值：为 0 时返回 1，否则返回 n * f(n-1)，f 的返回值类型也就是整个递归函数的返回值类型，即 long。

可确定 f 类型为 Func<int, long>。

n => n == 0 ? 1 : n * f(n – 1) 是传入一个 int 返回一个 long，其类型 Func<int, long>。

先来变换下 g 的表示形式：

1 2 3 4 5

var g = (Func<int, long> f) => { Func<int, long> t = n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1); return t; }; // 示意代码

从上面这段代码可以清楚到看出 g 接收一个 Func<int, long> 类型的参数 f，返回一个类型为 Func<int, long> 的委托，可得出：

g 的类型为 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>

FIX 类型

FIX g 可写作 FIX(g)，可以看出： FIX g 的类型 == FIX(g) 的类型 == FIX 返回值的类型。前面得知 FIX g 类型为 Func<int, long>，也就可推出 FIX 返回值类型为 Func<int, long>。

FIX 接受 g 作为参数，FIX 的参数类型也就是 g 的类型，可知 FIX 参数类型为 Func<Func<int, long>, Func<int, long>>。

由此得出 FIX 的类型为：Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>。

（估计这是多数开发人员见过的最复杂的泛型了。后面还在更复杂的吆！）

小结

名称	λ 演算表达式	数据类型
输入参数	n	int
迭归返回值	FIX g n	long
迭归函数	FIX g	Func<int, long>
单步函数	g	Func<Func<int, long>, Func<int, long>>
不动点组合子	FIX	Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>

通用类型

基于以上部分的推演和小结，我们可以归纳出通用类型：

名称	λ 演算表达式	数据类型
输入参数	n	TInput
迭归返回值	FIX g n	TResult
迭归函数	FIX g	Func<TInput, TResult>
单步函数	g	Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>
不动点组合子	FIX	Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>>

 

基于本文推断出的类型，不动点组合子转换为 c# 代码了不容易多了。下一篇文章 将以 Y 组合子为例进行说明。