菜鸟都能理解的0-1背包问题的空间优化

转载：http://www.cfanz.cn/index.php?c=article&a=read&id=51269

如果你不知道什么叫做0-1背包问题，下面是0-1背包问题的简单描述

假设有n件物品

每件物品的体积为w1, w2……wn

   相对应的价值为 v1, v2.……vn。

01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里，使得背包的总体积最大

关于0-1背包问题没有优化版本，请看这里

上面的核心代码是下面这一段

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {
      if (w[i] > j) {
        c[i][j] = c[i-1][j];
      } else {
          if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {
            c[i][j] = c[i-1][j];
          }
          else {
            c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];
          }
      }
    }
  }

注意到状态转移方程 c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}

每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1...j}有关c[i-1][x]是前一次i循环保存下来的值，因此，可以将c缩减成一维数组
状态转移方程转换为 c[j] = max(c[j], c[j-w[i]]+v[i]);
并且，我们注意到状态转移方程，每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的，而不是通过c[i][j-w[i]]
因此，j的扫描顺序应该改成从大到小

因为新的c[i]需要上一轮的c[i-w[j]]辅助计算，而i-w[j] < i，又c为一维数组，因此如果从前往后更新会导致c[i-w[j]]被新的c[i-w[j]]覆盖，从而导致参与帮助计算c[i]的不是上一轮的c[i-w[j]]，而是新的c[i-w[j]]，则最后计算的c[i]显然不会是正确结果，所以需要从后往前更新。

否则，第i次求c数组，必然先求的c[j-w[i]]的值(即c[i][j-w[i]])，再求c[j](即c[i][j])的值

由于j递增,那么状态方程就成为下面这个样子了

c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i])显然不符合题意
所以，上面的代码变为


 

 for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = total_weight; j >= 1; j--) {
      if (w[i] > j) {
        c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等，这里因为c[j]本来就保存这上一次的值，所以这里不需变化
      } else {
        //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放
          if (c[j] > v[i]+c[j-w[i]]) {
            c[j] = c[j];
          }
          else {
            c[j] =  v[i] + c[j-w[i]];
          }
      }
    }
  }

最后我们可以做下优化，把不必要的语句去掉即可完成优化

for (int i = 1; i <= n; i++) {
  for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--) {
    if (c[j] <= v[i] + c[j-w[i]])
      c[j] = v[i] + c[j-w[i]];
  }
}

如此优美的代码简直无法想象!

注意，空间优化版本最后是求解不出来最优解序列的，但是能求出最优解，也就是最大价值