金华3.19
金华3.19
博弈论
ICG：公平组合游戏，有先手必胜/后手必胜，其满足：
- 有两个玩家，游戏对两个玩家是公平的
- 游戏状态有限
- 一个玩家不能行动时游戏结束
满足这些情况时可以使用SG函数解决，一个状态的SG值等于他能到达的状态的SG的mex，多个游戏的SG值等于其异或和。当且仅当SG为0先手必败，否则先手必胜。
ZROI1743 取石子
n堆石子，每个人可以取a~b个石子，无法操作的人失败。此外，当一个人取完一堆石子时他会立即获胜。
这题有个条件：取完一堆石子时他会立即获胜，那它就不是个ICG，无法使用SG函数来做。我们考虑判掉有 \(|x_i|\in[a,b]\) 的情况（此时先手必胜），否则把 \([a,b]\) 设为不可到达的情况，因为按照最优策略来说没有人会把石子数操作到 \([a,b]\)，除非没有其他可以操作的堆，这时就相当于不能行动时游戏结束了。那么它就变成了一个ICG，可以打表找出SG的规律。
ZROI1745 序列
\(f[x][i]\)：填满i个数，第一个是x，然后dp优化。
ZROI1745 树
直接边分治+莫比乌斯反演是\(qnd(n)+nd(n)\log n\)的，出题人卡了波常数不能过，有几个小技巧：
- 注意到 \(\mu=0\) 没有贡献，我们可以把因数个数优化到\(2^c\)，\(c\) 是质因子个数
- 考虑询问的时候换一种统计答案的方式。注意到修改的边一定有边权，那么gcd一定只有\(2^c\)种，可以FWT。
于是最后复杂度是\(n2^c\log n+q(n+c2^c)\)
