湖南师大附中计数课件总结
计数 湖南师大附中课件总结
容斥
一般形式
比如算满足一些条件,可以容斥算不满足某个集合的条件
推广
对两个关于集合的函数 \(g(S), f(S)\) ,
如果 \(g(S)=\sum_{T \subseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)
如果 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \supseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)
例题
HAOI2008 硬币购物
做过,只说下大概思路
设 \(f(S)\) 为只有 \(S\) 中的硬币超过了限制的方案数,\(g(S)\) 为 \(S\) 中 的硬币超过了限制 (其它的任意) 的方案数。
那么 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T)\), 我们要求的就是 \(f(\emptyset)\)
游戏
题意:
有一个 \(N\) 个点的无向完全图和 \(M\) 中颜色, 图 \(G\) 的价值 \(f(G)\) 为使得同一个联通块的点颜色相同的染色方案数。
求 \(\sum_{S \subseteq E, S \neq 0}(-1)^{|S|-1} f(G(S))\)
\(E\) 为边集, \(S\) 取遍 \(E\) 的所有非空子集, \(G(S)\) 为 \(S\) 中的边构成的图 \(N, M \leq 10^{6}\)
设\(H(x)\)表示满足条件x的染色方案,注意x是任意一个条件,不是变量
则有\(f(G(S))=|\bigcap_{e\in S}H(e_x=e_y)|\)
设\(P(e)=[e_x=e_y]\)
就是至少有两个点相同的方案数,\(M^N-\prod _{i=1}^N(M-i+1)\)(总方案数-都不相同)
二项式反演
见之前写的复习博客
斯特林数
详见WC集训笔记,这个课件上也没讲啥多的
图的价值
给出 \(n\) 和 \(k,\) 定义一个简单无向图的价值为每个点度数的 \(k\) 次方模 \(998244353\) 的结果。
\(1 \leq n \leq 10^{9}, 1 \leq k \leq 200000\)
考虑一个点的贡献,
由于
所以
这个式子的上下界其实没有必要纠结...因为d<x的时候自动就等于0了
式子的后面部分的组合意义是现在 𝑛 − 1 个数中选 𝑑 个, 再在这 𝑑 个中选 𝑥 个, 相当于先选 𝑥 个, 其他的任意。
那么我们要求出一行第二类斯特林数
枚举空盒,有容斥式子:
就可以NTT了。
DP套DP
对于一个可以用 DP 解决的问题,我们要求有多少中输入使得这个问题的答案为 𝐴。
做法是在原 DP 的基础上暴力加上一维来记录每个状态的 DP 值, 并统计在这种情况下的方案数。
Hero meet devil
经典老题,做过但是没写总结
给一个由 𝐴𝐺𝐶𝑇 组成的字符串 𝑆, 对于每个 1 ≤ 𝑖 ≤ |𝑆|, 问有多 少个只由 𝐴𝐺𝐶𝑇 组成的长度为 𝑚 的串 𝑇 , 使得 𝑆 和 𝑇 的最长公 共子序列为 𝑖。
\(|𝑆| ≤ 15, 1 ≤ 𝑚 ≤ 1000\)
\(0 ≤ 𝑓(𝑖, 𝑗) − 𝑓(𝑖, 𝑗 − 1) ≤ 1\), 于是可以记录 \(𝑓(𝑖, 𝑗)\) 差分的结果作为状态。
设\(f[i][S]\)表示在第 \(i\) 个位置,差分状态为 \(j\) 的方案数,预处理S选择下一个字母的转移即可。
Number
给出 \(T, A, B, C, D,\) 求对于所有 \(A \leq x \leq B, C \leq y \leq D, x \& y=T\),\(x | y\) 有多少种不同的取值。
\(0 \leq T, A, B, C, D \leq 2^{60}\)
显然知道x就可以通过T求y,那么记录一下xy与ABCD的相对关系就可以按位dp了。
所以跟dp套dp有什么关系啊
Burnside引理与pólya定理
置换
置换 \(\sigma\) 是一个从集合 1, \(2, \cdots, n\) 到自身的一一映射
\( \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \end{array}\right) \)
其中 \(a\) 是一个排列。
置换可以做乘法, 如 \(\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}b \\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a \\ c\end{array}\right)\)
置换群
置换群 𝐺 是一个置换的集合, 并且满足以下条件:
- 封闭性
- 结合律
- 存在唯一单位元
- 存在唯一逆元
染色与等价
有任意置换能使一种染色方案变成另一种时,我们称其等价。
也就是\(\exist f \in G,f*c=d\),c和d等价。
Burnside 引理
定义 \(C(𝑓)\) 为在置换 \(𝑓\) 的作用下不动点的集合
\(N(G)=\frac 1 {|G|}\sum_{f\in G}|C(f)|\)
即等价类数为不动点的平均值。
pólya定理
在一个有k个循环(轮换)的置换\(f\)中,显然同一循环节要染同一颜色,不同循环节则不影响,那么本质不同的方案数为
其中\(c_i\)是\(f_i\)的循环个数
好!
后记
还有模拟赛要打,就先这么多...
本来想看看课件后面的题,结果开 幕 雷 击给我整个不可做题