ZROJ 1267 我要打数论
ZROJ 1267 我要打数论
这个题目来源是一个同学开麦对线，说我要打麻将我要打扑克
应clb要求题目不能直接放出来，但是真的感觉太棒了学到许多所以总结一下
分析一波，取min可以转化
\[\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}min(n,lcm(i,j)+gcd(i,j))
\]
\[=\sum_k^n\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}[k\leq lcm(i,j)+gcd(i,j)]
\]
这是一种常见的min转换方法（我并不知道
继续转化，
\[=\sum_k^n n^2-\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}[k> lcm(i,j)+gcd(i,j)]
\]
\[=\sum_k^n n^2-\sum^{k}_{i=1}\sum^{k}_{j=1}[k> lcm(i,j)+gcd(i,j)]
\]
大于有更好的性质，后面的式子上界为k-1，后面就只和k有关了，令其为\(F(n)\)，即
\[F(n)=\sum_i\sum_j [n>lcm(i,j)+gcd(i,j)]
\]
考虑一个差分，\(G(n)=F(n+1)-F(n)\)，小于n+1又大于等于n，只能等于n
\[G(n)=\sum_i\sum_j [lcm(i,j)+gcd(i,j)=n]
\]
考虑枚举\(d=gcd(i,j)\)
\[=\sum_g^n \sum_i^{\left\lfloor\frac{n}{g}\right\rfloor}\sum_j^{\left\lfloor\frac{n}{g}\right\rfloor}[ijg+g=n][gcd(i,j)=1]
\]
因为\(n=ijg+g\)，则有解的话\(g|n\)，所以
\[=\sum_{g|n} \sum_i^{\left\lfloor\frac{n}{g}\right\rfloor}\sum_j^{\left\lfloor\frac{n}{g}\right\rfloor}[ijg+g=n][gcd(i,j)=1]
\]
其中\(ijg+g=n\)，则 \(i=\frac{\frac{n}{g}-1} j\) ，枚举i，式子就变成了
\[=\sum_{g|n} \sum_{i|\frac{n}{g}-1}[gcd(i,\frac{\frac{n}{g}-1} i)=1]
\]
发现式子只和\(\frac n g -1\)有关了，则令\(H(n)=\sum_{i|n} [gcd(i,n/i)=1]\) （禁止套娃！
这个东西就等于\(2^{w(n)}\)，因为每种因子都要取完，就可以当成01分析
然后就做完了。。。总复杂度\(O(T+n\log n)\)
代码就不贴了
